专题06 圆中的证明与计算问题-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题06：圆中的证明与计算问题 目录 一、热点题型归纳 【题型一】 圆中的角度和线段的计算问题 【题型二】 圆的弧长和面积问题 【题型三】 切线的判定 【题型四】 相交弦定理 【题型五】 切割线定理 【题型六】 弦切角定理 【题型七】 辅助圆的三种模型 【题型八】 圆与相似综合 【题型九】 圆与三角函数综合 二、最新模考题组练 【题型一】 圆中的角度和线段的计算问题 【典例分析】 1．如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径是多少？ 2.如图，为的直径，是的切线，C为切点，交的延长线于D，且，求的度数． 【提分秘籍】 圆的基础定理：垂径定理、圆周角定理、切线长定理的内容和常考题型要熟悉，也要结合几何图形各自的特征，综合应用起来解决相关问题。 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 【变式演练】 1.如图，在以是直径的半中，C、D为半圆周上两点，且点C为的中点，过点C的切线交延长线交于点E． (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 2.如图，四边形为的内接四边形，是的直径，，．求的度数． 3.如图，在半径为6的扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F，设所在的圆的圆心为，且． (1)求的大小及的长； (2)请在图中画出线段，用其长度表示劣弧上的点到弦的最大距离（不说理由），并求弦的长． 【题型二】 圆的弧长和面积问题 【典例分析】 1.如图，是外接圆，．设的直径为，求的长． 2.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度. 【提分秘籍】 圆的常用公式汇总 圆的面积公式：，周长. 　　圆心角为、半径为R的弧长. 　　圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 　　弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 　　圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为. 　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有. 【变式演练】 1.如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，求一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置A处）所爬行的最短距离． 2.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条夹角为，的长为，扇面部分的长为，求扇面部分的面积S． 3．已知，如图，的半径为，半径被弦垂直平分，交点为，点在圆上，且． (1)求弦的长； (2)求图中阴影部分面积（结果保留π）． 4．如图，是半圆的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点，连接，． (1)求的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果精确到，参考数据：，，取） 【题型三】 切线的判定 【典例分析】 1.如图，AB为⊙D的切线，BD是∠ABC的平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E．求证：BC是⊙D的切线； 2.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝NE＝3． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若AE＝4，求⊙O的直径AB的长度． 【提分秘籍】 口诀：圆上有点，连半径证垂直；圆上没点，作垂直证半径。 注意：证的方法有很多中，最常用的有：①证平行；②证全等；③半径和直线的夹角为90°。 【变式演练】 1.如图已知AB是⊙O的直径，，点C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，． (1)求证：AE是⊙O的切线； (2)求AD的长． 2.如图，是的直径，延长至点，，，点是上一点，延长交于点，连结、，且． （1）求证：是的切线． （2）求的长度．（结果保留） 【题型四】 相交弦定理（中考不能直写结论） 【典例分析】 1.如图，⊙O1与⊙O2内切于点P，又⊙O1切⊙O2的直径BE于点C，连接PC并延长交⊙O2于点A，设⊙O1，⊙O2的半径分别为r、R，且R≥2r．求证：PC•AC是定值． 【提分秘籍】 数学术语，经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 几何语言: 若圆内任意弦AB、弦CD交于点P,则PA·PB=PC·PD 思路：证△PAC∽△PDB 【变式演练】 1.如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为的中点，BF交AD于点E，且BE•EF=32，AD=6． （1）求证：AE=BE； （2）求DE的长； （3）求BD的长． 【题型五】 切割线定理（中考不能直写结论） 【典例分析】 1.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点