第二部分 第二板块 层级(四) 创新性考法(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

强化批判性思维——让你领人一步 [典例]　定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{an}是公积不为0的等积数列，且a1＝3，前24项和为44.则下列结论不正确的是(　 ) A．an＋2＝an B．{an}的公积为2 C．anan＋1an＋2＝6 D．{an}的前20项之积为1 024 [新新点拨] 新考法 此题是数列的新定义问题，新定义问题能够实现对考生独立思考能力和运用所学知识分析问题、解决问题能力的考查，符合高考内容改革的方向 新思路 根据等积数列的定义，得出相邻两项递推关系，用n＋1替代n，消去an＋1，即可判断A；由前24项和解方程得公积，判断B；对n为奇数与偶数分别讨论，判断C；分别求奇数项与偶数项之积，即可判断D [解析]　设该等积数列的公积为m(m为常数，m≠0)，根据等积数列的定义可得anan＋1＝m，an＋1an＋2＝m，所以＝1，即an＋2＝an，故A正确；由an＋2＝an，得a1＝a3＝a5＝a7＝…＝a23＝3，又a1a2＝m，则a2＝a4＝a6＝a8＝…＝a24＝，因为{an}的前24项和为44，则12×3＋12×＝44，解得m＝2，即公积为2，故B正确；由B知a2＝＝，当n为奇数时，anan＋1an＋2＝3××3＝6，当n为偶数时，anan＋1an＋2＝×3×＝，故C错误；{an}的前20项之积T20＝a1a2a3a4…a19a20＝(a1a3…a19)(a2a4…a20)＝310×10＝210＝1 024，故D正确．故选C. [答案]　C [针对训练] 已知正项数列{an}，对任意的正整数m，n都有2am＋n≤a2m＋a2n，则下列结论可能成立的是(　 ) A.＋＝amn B．nam＋man＝am＋n C．am＋an＋2＝amn D．2am·an＝am＋n 解析：选D　对于A，可取m＝1，此时an＋＝an，所以a1＝0，与{an}为正项数列矛盾，舍去；对于C，可取m＝1，此时a1＋an＋2＝an，所以a1＝－2，与{an}为正项数列矛盾，舍去；对于B，可取m＝1，则na1＋an＝an＋1，所以an＋1－an＝na1，即an－an－1＝(n－1)a1，故累加后可得an－a1＝a1(1＋2＋3＋…＋n－1)(n≥2)，整理得到an＝a1.n＝1时，a1也符合该式，从而an＝a1，n≥1.此时a2m＋a2n－2am＋n＝a1＝a1(m－n)2≥0，故2am＋n≤a2m＋a2n成立，若nam＋man＝am＋n成立，取m＝n＝2，则4a2＝a4，但此时a4＝7a1，a2＝2a1,4a2＝a4不成立，故B错误；对于D，可令an＝2n－1，则a2m＋a2n＝22m－1＋22n－1≥2·＝2m＋n＝2am＋n，当且仅当m＝n时等号成立，满足题干条件，此时，2aman＝2m＋n－1＝am＋n，解得a＝，故D选项可能成立．故选D. 注重发散思维——让你多人一招 [典例]　(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的个数． [新新点拨] 新考法 数列与集合交汇 新思路 要求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的个数，可以联系等差数列和等比数列的通项公式，得出k与m之间的关系，再根据m的取值范围得结论 [解]　(1)证明：设等差数列{an}的公差为d， 由a2－b2＝a3－b3，得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1， 由a2－b2＝b4－a4，得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，即a1＝5b1－2d， 将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1. (2)由(1)知an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×2b1＝(2n－1)a1，bn＝b1·2n－1， 由bk＝am＋a1，得b1·2k－1＝(2m－1)a1＋a1， 由a1＝b1≠0，得2k－1＝2m， 由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1 000，所以k＝2,3,4，…，10，共9个数，即集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}＝{2,3,4，…，10}中元素的个数为9. [针对训练] 已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)．若a1>1，则(　 ) A．a1<a3，a2<a4 B．a1>a3，a2<a4 C．a1<a3，a2>a4 D．a1>a3，a2>a4 解析：选B　法一：因为ln x≤x－1(x>0)，所以a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a