第二部分 第三板块 层级(二) 微专题(二) 空间向量与空间角、距离问题 (Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微专题(二)　空间向量与空间角、距离问题　　 命题点(一)　线面角　 以空间几何体为载体考查线面角是高考命题的重点.空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等. [典例]　(2022·全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝. (1)证明：BD⊥PA； (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值． [解]　(1)证明：取AB中点为O，连接DO，CO，则OB＝DC＝1. 又DC∥OB，所以四边形DCBO为平行四边形． 又BC＝OB＝1， 所以四边形DCBO为菱形，所以BD⊥CO. 同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD∥CO， 所以BD⊥AD. 因为PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PD⊥BD， 又AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面ADP，所以BD⊥平面ADP. 因为PA⊂平面ADP，所以BD⊥PA. (2)由(1)知BD⊥AD，又AB＝2AD，所以∠DAO＝60°， 所以三角形ADO为正三角形． 过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，P(0,0，)，D(0,0,0)． 则＝(0,2,0)，＝，＝(0,0，)． 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒ 令x＝2，则y＝0，z＝1，所以n＝(2,0,1)． 设直线PD与平面PAB所成的角为α，则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝＝， 所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为. 方法技巧 利用空间向量求线面角的解题模型 针对训练 (2022·百师联盟开学考)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形A1ADD1为矩形，且平面A1ADD1⊥平面ABCD，AB∥CD，AB＝AD＝A1A＝CD，∠DAB＝，M，E分别为AD1，B1C的中点． (1)证明：ME∥平面DCC1D1； (2)求AE与平面B1BCC1所成的角的正弦值． 解：(1)证明：分别取AD和BC的中点H，P，连接MH，HP，PE， 则MH∥DD1，MH＝DD1，PE∥CC1，PE＝CC1，所以MH∥PE，MH＝PE， 所以四边形MHPE为平行四边形， 所以ME∥PH，又PH∥CD，所以ME∥CD， 因为CD⊂平面DCC1D1，ME⊄平面DCC1D1， 所以ME∥平面DCC1D1. (2)因为四边形A1ADD1为矩形，所以DD1⊥AD，因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，且平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD，所以D1D⊥平面ABCD，故D1D⊥CD， 因为AB∥CD, ∠DAB＝，所以CD⊥AD， 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)， B1(1,1,1)，E，所以＝(0,0,1)，＝(－1,1,0)，＝ 设平面B1BCC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒ 令x＝1，则y＝1，所以n＝(1,1,0)， 所以cos〈，n〉＝＝， 所以AE与平面B1BCC1所成的角的正弦值为. 命题点(二)　平面与平面的夹角　 以空间几何体为载体考查平面与平面的夹角是高考命题的重点.空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等. [典例]　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，PM＝MD. (1)求证：BP∥平面ACM； (2)求平面MBC与平面DBC夹角的余弦值． [关键点拨] 切入点 (1)在平面ACM内找与PB平行的线； (2)建立坐标系，利用向量法求解 迁移点 (1)把线面平行问题转化为线线平行问题； (2)把求两平面夹角问题转化为求两法向量的夹角问题 障碍点 不会建系．本题不能直接建系，需根据侧面PAB⊥底面ABCD，作交线AB的垂线，可得平面ABCD的垂线，从而建立坐标系 [解]　(1)证明：连接BD，与AC交于O，连接OM，在△PBD中， 因为O，M分别为BD，PD的中点，所以BP∥OM. 因为BP⊄平面ACM，OM⊂平面ACM，所以BP∥平面ACM. (2)设E是AB的中点，连接PE，因为△PAB为正三角形，所以PE⊥AB. 又因为面PAB⊥底面ABCD，面PAB∩底面ABCD＝AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD. 过E作EF平行于CB与CD交于F.以E为原点，分别以EB，EF，EP为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz， 则E(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0,0，)，C(1,2,0)，D(－1，