第二部分 第三板块 层级(二) 微专题(三) 立体几何中的综合问题(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微专题(三)　立体几何中的综合问题 命题点(一)　立体几何中的折叠问题　 对立体几何中的折叠问题，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答.从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼.分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. [典例]　(2022·齐齐哈尔一模)已知平面四边形ABCM由等腰△MAC和Rt△ABC组成，AB⊥BC，MA＝MC，O为AC上的点且OA＝OC＝BC＝2(如图1所示)，将等腰△MAC沿AC折起，点M折至点D位置，使得平面DAC⊥平面ABC(如图2所示)． (1)求证：DO⊥AB； (2)若点E在棱DC上，且满足DE＝2EC，平面EAB和平面ABC所成角的余弦值为，求四面体ABCD的体积． [关键点拨] 切入点 通过面面垂直的性质证明DO⊥平面ABC，进而证明DO⊥AB 迁移点 建立坐标系，写出两个平面的法向量，通过锐二面角的余弦值求出参数，进而计算四面体ABCD的体积 [解]　(1)证明：因为MA＝MC，OA＝OC， 所以在△ACD中，DO⊥AC. 又因为平面DAC⊥平面ABC，平面DAC∩平面ABC＝AC，DO⊂平面DAC， 所以DO⊥平面ABC， 又因为AB⊂平面ABC， 所以DO⊥AB. (2)在平面ABC内过点O作AC的垂线，建立空间直角坐标系如图所示， 设OD＝a(a>0)，则A(0，－2,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，E，＝，＝. 设平面EAB的一个法向量n＝(x，y，z)， 则即解得 不妨取y＝a，则n＝(－a，a，－10)． 结合(1)知，DO⊥平面ABC， 取平面ABC的一个法向量＝(0,0，a)， 则＝＝，解得a＝10. 在△ABC中，因为AC2＝AB2＋BC2，所以AB＝＝2， 所以△ABC的面积为×2×2＝2， 所以四面体ABCD的体积为×2×10＝. 方法技巧 画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决． 针对训练 (2022·石家庄一模)如图1，在梯形ABCD中，∠BAD为直角，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，如图2，将三角形ABD沿BD折起至PBD. (1)若平面PBD⊥平面BCD，求证：PB⊥PC； (2)设E是PC的中点，若二面角E-BD-C为30°，求平面PBD与平面BCD夹角的大小． 解：(1)证明：由题设知△PBD为等腰直角三角形且PB⊥PD，PB＝PD＝2，则BD＝4， 又∠DBC＝45°，BC＝4，在△BCD中，由余弦定理，得CD＝4， 所以BD2＋CD2＝BC2，即BD⊥CD， 又平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD， 所以CD⊥平面PBD，又PB⊂平面PBD，则CD⊥PB，因为PD∩CD＝D， 所以PB⊥平面PCD，又PC⊂平面PCD，则PB⊥PC. (2)设M，N分别是BD，BC的中点，连接PM，MN，则PM⊥BD，MN⊥BD， 又PM∩MN＝M， 则BD⊥平面PMN， 所以∠PMN是二面角P-BD-C的平面角． 在平面PMN上过M作Mz⊥MN， 如图，以M为原点，直线MB为x轴，直线MN为y轴，直线Mz为z轴，建立空间直角坐标系． 则B(2,0,0)，C(－2,4,0)， D(－2,0,0)，设∠PMN＝θ，θ∈(0，π)， 则P(0,2cos θ，2sin θ)，E(－1，cos θ＋2，sin θ)，故＝(－3，cos θ＋2，sin θ)，＝(4,0,0)． 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取y＝sin θ，得n＝(0，sin θ，－cos θ－2)． 显然平面BCD的一个法向量为n1＝(0,0,1)． 因为二面角E-BD-C为30°，则＝＝＝，整理得4cos2θ＋4cos θ＋1＝0，解得cos θ＝－，所以θ＝， 所以平面PBD与平面BCD夹角的大小为. 命题点(二)　立体几何中的探究性问题　 与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平面的夹角满足特定要求时的存在性问题.处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数有些是题中已给出，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断. [典例]　(2022·济南期末)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E，F，分别为棱AA1，CC1的中点，G为棱DD1上的动点． (1)求证：B，E，D1，F四点共面； (