第二部分 第三板块 层级(二) 微专题(四) 大题专攻——“立体几何”大题的规范解题路径(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微专题(四)　大题专攻——“立体几何”大题的规范解题路径 立体几何问题重在“建”——建模、建系　 立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建模、建系． 建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距离等的计算模型，有时也需建立函数模型； 建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．　 [解题示范] [典例]　(2021·新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点． (1)证明：OA⊥CD. (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积． [关键点拨] 1．利用法向量求解空间角的关键在于“四破” 2．解答立体几何问题，应具备以下5点思维 (1)由于空间图形问题往往可转化为平面图形问题加以解决，因此要注意平面几何知识在解题中的灵活运用．例如，证线线平行可以利用三角形、梯形的中位线性质定理，还可以利用比例关系；证线线垂直可以利用菱形、正方形的对角线互相垂直，还可以利用勾股定理的逆定理． (2)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，由于大多数问题主要考查的是有关判定定理在证题中的灵活运用，所以我们要优先考虑对应的判定定理去寻找证题思路． (3)立体几何中证明有关平行或垂直问题时，若对应的判定定理不便于运用，则应该及时考虑其他的证题思路．例如，要证线面平行，可以先证面面平行，再利用面面平行的性质；要证明线面垂直，可以先证面面垂直，再利用面面垂直的性质． (4)分析、解决有关立体几何问题时，往往需要考虑数形结合思想、分类与整合思想、转化思想在解题中的灵活应用． (5)由于立体几何解答题侧重考查空间向量法在解题中的灵活运用，所以必须熟练掌握利用空间向量法求解空间角的具体过程． [应用体验] (2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点． (1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60° ，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值． 解：(1)证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ADB≌△CDB，所以AB＝BC. 因为E为AC的中点， 所以AC⊥BE，AC⊥DE， 又BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED， 又AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD. (2)因为AB＝BC＝2，∠ACB＝60°，所以△ABC为正三角形，则AC＝2，BE＝，AE＝1. 因为AD＝CD，AD⊥CD，所以△ADC为等腰直角三角形，所以DE＝1. 所以DE2＋BE2＝BD2，则DE⊥BE. 由(1)可知，AC⊥平面BED. 连接EF，因为EF⊂平面BED， 所以AC⊥EF，当△AFC的面积最小时，点F到直线AC的距离最小，即EF的长度最小． 在Rt△BED中，当EF的长度最小时，EF⊥BD，EF＝＝. 又DE⊥AC，BE⊥AC，所以EA，EB，ED两两垂直，以E为坐标原点，EA，EB，ED所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系E-xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，D(0,0,1)，C(－1,0,0)，＝(－1，，0)，＝(0，，－1)． 易得DF＝，FB＝，所以3＝.设F(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0，－y，－z)，所以3(0，y，z－1)＝(0，－y，－z)，得y＝，z＝，即F，所以＝. 设平面ABD的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则不妨取y1＝1，则x1＝，z1＝，n＝(，1，)． 记CF与平面ABD所成的角为α， 则sin α＝|cos〈，n〉|＝＝. [课时验收评价]　　　　　“立体几何”大题规范增分练 1.(2022·福州3月质检)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点E为AB的中点，点F在BC上，且AC＝BC＝3BF. (1)证明：平面A1B1F⊥平面CC1E； (2)若∠ABC＝60°，AA1＝2AB，且三棱锥E-A1B1F的体积为，求CE与平面A1B1F所成角的正弦值． 解：(1)证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1， ∴CC1⊥A1B1， ∵点E为AB的中点，且AC＝BC，∴AB⊥CE， ∵AB∥A1B1，∴A1B1⊥CE， ∵CE∩CC1＝C， ∴A1B1⊥平面CC1E， ∵A1B1⊂平面A1B1F， ∴平面A1B1F⊥平面CC1E. (2)∵∠ABC＝60°，AC＝BC，∴△ABC为正三角形． 设AB＝t，则AA1＝2AB＝2t， 由(1)可得，CE⊥平面AB