第二部分 第三板块 层级(三) 应用性考法(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

一、例析新情境题目，内化建模素养 [典例1]　(价值引领——弘扬“传统文化”，倡树家国情怀) 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为(　 ) A．20° B．40° C．50° D．90° [4“步”建模] 模型求解：画出截面图如图所示，其中CD是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线，依题意可知OA⊥l；AB是晷针所在直线．m是晷面的截线，依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得m∥CD，根据线面垂直的定义可得AB⊥m. 由于∠AOC＝40°，m∥CD，所以∠OAG＝∠AOC＝40°， 由于∠OAG＋∠GAE＝∠BAE＋∠GAE＝90°， 所以∠BAE＝∠OAG＝40°，也即晷针与点A处的水平面所成角为∠BAE＝40°. [答案]　B [典例2]　(价值引领——聚焦生产生活，分析解决问题) (2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)(　 ) A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3 C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3 [解析]　如图，由已知得该棱台的高为157.5－148.5＝9(m)，所以该棱台的体积V＝×9×(140＋＋180)×106＝60×(16＋3)×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C. [答案]　C [典例3]　(价值引领——创新学科情境，挑战高阶思维) (2022·连云港二模)(多选)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，||＝3||，＝λ，＝μ，其中0<λ<1,0<μ<1，则(　 ) A．存在实数λ，μ，使得A1在平面CEF内 B．不存在实数λ，μ，使得直线EF与该正四棱柱的12条棱所在直线所成的角都相等 C．存在实数λ，μ，使得平面CEF截该正四棱柱所得到的截面是五边形 D．不存在实数λ，μ，使得平面CEF截该正四棱柱所得到的截面是六边形 [4“步”建模] 模型求解：由题意可知，对于选项A，若λ＝u＝，此时A1F∥CE，则A1，F，C，E四点共面， 从而A1∈平面CEF，故A正确； 对于选项B，可建立空间直角坐标系，如图所示， 设AB＝1，则AA1＝3，所以D(0,0,0)，C(0,1,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,3)，E(1,1,3λ)，F(0,0,3μ)，＝(－1，－1,3μ－3λ)，＝(1,0,0)，＝(0,1,0)，＝(0,0,3)， 若直线EF与该正四棱柱的12条棱所在直线所成的角都相等，则EF与直线DA，DC，DD1所成的角均相等，可设所成的角为θ，所以cos θ＝＝＝，即＝＝，化简可得|3μ－3λ|＝1，即μ－λ＝或λ－μ＝，则存在λ，μ的值满足题意，故B错误； 对于选项C、D，延长CE交C1B1的延长线于点M，延长CF交C1D1的延长线于点G，则总存在这样的点E，F，即存在λ，μ，使得MG与A1B1，A1D1，分别交于点I，H，此时连接FH，HI，IE，可得到截面可能为五边形，不会是六边形，如图(延长线略)，故选项C、D正确．故选A、C、D. [答案]　ACD 二、挖掘新教材素材，把握新命题动向 高考源于教材——教材案例发掘好 [典例1]　(人教A版必修二P116练习T3改编)某公园供游人休息的石凳如图所示，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长为40 cm，则石凳所对应几何体的表面积为________cm2. [4“步”建模] 模型求解：由题意知，表面积为6×(20)2＋8×××(20)2＝4 800＋1 600(cm2)． [答案]　4 800＋1 600 [典例2]　(人教A版选择性必修一P43T10题改编)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为线段A1D1上的点，过点E作垂直于B1D的平面截正方体，其截面图形为M，下列命题正确的是________． ①M在平面ABCD上投影的面积取值范围是； ②M面积的最大值为； ③M的周长为定值． [4“步”建模] 模型求解：如图所示．B1D⊥平面A1BC1，B1D⊥平面A