第二部分 第三板块 层级(四) 创新性考法(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

强化批判性思维——让你领人一步 [典例]　(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M为棱CC1上的动点，AM⊥平面α，下面说法正确的是(　 ) A．若N为DD1中点，当AM＋MN最小时，＝1－ B．当点M与点C1重合时，若平面α截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大 C．直线AB与平面α所成角的余弦值的取值范围为 D．若点M为CC1的中点，平面α过点B，则平面α截正方体所得截面图形的面积为 [新新点拨] 新考法 本题以正方体为载体考查动态问题及最值、范围问题 新思路 利用展开图判定A、M、N三点共线，进而利用相似三角形判定选项A正确；通过两个截面的面积不相等且周长相等判定选项B错误；建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的余弦值的取值范围，进而判定选项C错误；建立空间直角坐标系，利用线面垂直得出点E的位置、判定截面的形状是梯形，利用空间向量求梯形的高，进而求出截面的面积，判定选项D正确 [解析]　对于A，将矩形ACC1A1与矩形CC1D1D展开成一个平面(如图所示)，若AM＋MN最小，则A、M、N三点共线， 因为CC1∥DD1，所以＝＝＝2－， 所以MC＝(2－)DN＝CC1， 即＝＝1－，即选项A正确； 对于B，当点M与点C1重合时， 连接A1D、BD、A1B、AC、AC1(如图所示)，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD， BD⊂平面ABCD，所以BD⊥CC1， 又因为BD⊥AC，且AC∩CC1＝C， 所以BD⊥平面ACC1， 又AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1， 同理可证A1D⊥AC1， 因为A1D∩BD＝D， 所以AC1⊥平面A1BD. 易知△A1BD是边长为2的等边三角形， 其面积为S△A1BD＝×(2)2＝2， 周长为2×3＝6； 设E，F，Q，N，G，H分别是A1D1，A1B1，BB1，BC，CD，DD1的中点， 易知六边形EFQNGH是边长为的正六边形， 且平面EFQNGH∥平面A1BD， 正六边形EFQNGH的周长为6， 面积为6××()2＝3， 则△A1BD的面积小于正六边形EFQNGH的面积， 它们的周长相等，即选项B错误； 对于C，以点D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，设M(0,2，a)(0≤a≤2)， 因为AM⊥平面α，所以是平面α的一个法向量， 且＝(－2,2，a)，＝(0,2,0)， |cos〈，〉|＝＝∈， 所以直线AB与平面α所成角的正弦值的取值范围为 则直线AB与平面α所成角的余弦值的取值范围为.即选项C错误； 对于D，以点D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系(如图所示)，连接AC、BD，设平面α交棱A1D1于点E(b,0,2)，M(0,2,1)， 所以＝(－2,2,1)，因为AM⊥平面α，DE⊂平面α， 所以AM⊥DE，即·＝－2b＋2＝0，得b＝1， 所以E(1,0,2)，即点E是A1D1的中点， 同理点F是A1B1的中点，则EF∥BD且EF≠BD， 所以四边形EFBD是梯形，且BD＝2，EF＝， 设α＝＝(1,0,2)，μ＝＝， 则α2＝5，α·μ＝， 所以梯形EFBD的高，即点E到直线BD的距离为＝＝， 所以梯形EFBD的面积为S＝×(＋2)×＝，即选项D正确． [答案]　AD [针对训练] (2022·邯郸模拟)已知正三棱柱ABC-A1B1C1，各棱长均为2，且点P为棱CC1上一动点，则下列结论正确的是(　 ) A．该正三棱柱既有外接球，又有内切球 B．四棱锥P-ABB1A1的体积是 C．直线AB1与直线BP恒不垂直 D．直线BP与平面ABB1A1所成的角最大为 解析：选D　如图所示，设A1B∩AB1＝O，取AB，A1B1的中点分别为E，F，连接EF，C1F，过点P作PH⊥EF交EF于点H，连接BH， 显然C1F⊥平面ABB1A1，又PH∥C1F，故PH⊥平面ABB1A1， 即∠PBH为直线BP与平面ABB1A1所成的角， 又因为PH＝C1F＝，2≤BP≤2， 所以sin∠PBH＝＝∈， 因此当sin∠PBH＝时，∠PBH有最大值，故D正确； 由于△ABC内切圆半径为<1，所以该正三棱柱有外接球，无内切球，故A不正确； 显然CC1∥平面ABB1A1，因此点P到侧面ABB1A1的高h＝PH＝. 故四棱锥P-ABB1A1的体积为VP-ABB1A1＝S矩形ABB1A1h＝≠，故B不正确； 当H位于O时，PO⊥平面ABB1A1， 即AB1⊥PO. 又AB1⊥A1B，故AB1⊥平面POB，从而AB1⊥BP，故C不正确． 注重发散思维——让你多人一招 [典例]　用一个不平行于底面的平面截一个圆柱，得到如图