第二部分 第四板块 层级(二) 微专题(一) 统计与成对数据的统计分析(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微专题(一)　统计与成对数据的统计分析 命题点(一)　用样本估计总体　 [典例]　从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： 质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 频数 6 26 38 22 8 (1)根据上表补全如图所示的频率分布直方图； (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ [解]　(1)补全后的频率分布直方图如图所示． (2)质量指标值的样本平均数为＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104. 所以这种产品质量指标值的平均数约为100，方差约为104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比例约为0.38＋0.22＋0.08＝0.68. 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定． 方法技巧 利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据 (1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． (2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征． 针对训练 为了比较两种复合材料制造的轴承(分别称为类型Ⅰ轴承和类型Ⅱ轴承)的使用寿命，检验了两种类型轴承各30个，它们的使用寿命(单位：百万圈)如下表： 类型Ⅰ 6.2 6.4 8.3 8.6 9.4 9.8 10.3 10.6 11.2 11.4 11.6 11.6 11.7 11.8 11.8 12.2 12.3 12.3 12.5 12.5 12.6 12.7 12.8 13.3 13.3 13.4 13.6 13.8 14.2 14.5 类型Ⅱ 8.4 8.5 8.7 9.2 9.2 9.5 9.7 9.7 9.8 9.8 10.1 10.2 10.3 10.3 10.4 10.6 10.8 10.9 11.2 11.2 11.3 11.5 11.5 11.6 11.8 12.3 12.4 12.7 13.1 13.4 根据上述表中的数据回答下列问题： (1)对于类型Ⅰ轴承，应该用平均数还是中位数度量其寿命分布的中心？说明理由； (2)若需要使用寿命尽可能大的轴承，从中位数或平均数的角度判断，应选哪种轴承？说明理由； (3)若需要使用寿命的波动性尽可能小的轴承，应选哪种轴承？说明理由． 解：(1)从表中可以看出类型Ⅰ轴承大多数的数据集中在[11.2,13.8]区间内，在这个区间的数据有20个，中位数为12,6.2,6.4有严重的偏离，所以使用中位数度量寿命分布的中心． (2)由上表可知，类型Ⅰ轴承的使用寿命按由小到大排序，排在15,16位是11.8,12.2，故中位数为12； 类型Ⅱ轴承的使用寿命按由小到大排序，排在15,16位是10.4,10.6，故中位数为10.5，因为12＞10.5，所以应选类型Ⅰ轴承． (3)从类型Ⅰ的表格中，极差＝14.5－6.2＝8.3，多数的数据集中在[11.2,13.8]区间内，6.2,6.4,8.3,8.6严重偏离分布中心，即波动较大，标准差必定较大，从类型Ⅱ的表格中，极差＝13.4－8.4＝5，数据的分布集中均匀，即波动较小，标准差必定较小，故应选类型Ⅱ轴承． 命题点(二)　一元线性回归模型及其应用　 [典例]　某公司对某产品作市场调查，获得了该产品的定价x(单位：万元/吨)和一天的销量y(单位：吨)的一组数据，根据这组数据制作了如下统计表和散点图． iyi iyi 0.33 10 3 0.164 100 68 350 表中t＝. (1)根据散点图判断，＝x＋与＝cx－1＋d哪一个更适合作为y关于x的经验回归方程；(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果，建立y关于x的经验回归方程； (3)若生产1吨该产品的成本为0.25万元，依据(2)的经验回归方程，预计每吨定价多少时，该产品一天的销售利润最大？最大利润是多少？ 附：经验回归方程＝x＋中，＝＝，＝－.