第二部分 第四板块 层级(二) 微专题(二) 概率(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微专题(二)　概　率 命题点(一)　古典概型的综合问题　 [例1]　在二项式n的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项中恰有两项相邻的概率为(　 ) A. B． C. D． [解析]　展开式通项为Tr＋1＝C()n－r·r＝C·2－r·(0≤r≤n)， 由2C·2－1＝C·20＋C·2－2，得n＝8. 所以当r＝0,4,8时，为整数，相应的项为有理项， 因为二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理项，6项是无理项， 所求恰有两项有理项相邻的概率为P＝＝. [答案]　B [例2]　正2 022边形A1A2…A2 022内接于单位圆O，任取其两个不同顶点Ai，Aj，则|＋|≤1的概率是(　 ) A. B． C. D． [关键点拨] 切入点 由|＋|≤1，得出cos∠AiOAj的范围 障碍点 不能根据∠AiOAj的范围确定∠AiOjAj的最小范围 [解析]　由|＋|2＝2＋2＋2·＝2＋2cos∠AiOAj≤1， 可得cos∠AiOAj≤－，因为0≤∠AiOAj≤π， 所以≤∠AiOAj≤π， 对于任意给定的向量 (1≤j≤2 022)，满足条件|＋|≤1的向量的取法有×＋1＝675种， 因此，|＋|≤1的概率为P＝. [答案]　B 方法技巧 (1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率． (2)利用分析法求解古典概型． ①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和． ②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法． 针对训练 1．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上面画点或用小石子表示数，他们将1,3,6,10,15，…，，称为三角形数；将1,4,9,16,25，…，n2，称为正方形数．现从200以内的正方形数中任取2个，则其中至少有1个也是三角形数的概率为(　 ) A. B． C. D． 解析：选A　令n2≤200，因为n∈N*，故200以内的正方形数有14个：1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196，其中是三角形数的仅有1与36， 故所求概率P＝＝.故选A. 2．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司中选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中各随机抽取3个问题回答，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立的，则甲、乙两家公司共答对2道题目的概率为(　 ) A. B． C. D． 解析：选B　由题意可知甲、乙各答对1道题，或甲答对2道题、乙答对0道题，所以所求概率P＝×C12＋×3＝. 命题点(二)　条件概率　 [例1]　(2022·沈阳一模)某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是__________． [关键点拨] 切入点 用符号表示事件 隐藏点 P(B|A1)＝，P(B|A2)＝ 迁移点 全概率公式 [解析]　如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件， 则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω， 由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝， 且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝. 由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝， 即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为. [答案]　 [例2]　(2022·新高考Ⅰ卷)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R. ①证明：R＝·； ②利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|)的估计值，并利用①的结果给出R的估计值． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.