第二部分 第四板块 层级(二) 微专题(三) 三种常见的概率分布(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微专题(三)　三种常见的概率分布 命题点(一)　二项分布　 [典例]　(2022·韶关测试)在某校开展的知识竞赛活动中，共有A，B，C三道题，答对A，B，C分别得2分、2分、4分，答错不得分．已知甲同学答对问题A，B，C的概率分别为，，，乙同学答对问题A，B，C的概率均为，甲、乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立． (1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率； (2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强． [关键点拨] 切入点 先求其对立事件的概率 隐藏点 分别求甲、乙两同学得分的分布列及均值 迁移点 比较甲、乙两同学得分的均值的大小 [解]　(1)设甲同学三道题都答对的事件为A，则P(A)＝××＝， 所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为P＝1－P(A)＝1－＝. (2)设甲同学本次竞赛中得分为X，则X的可能取值为0,2,4,6,8， 则P(X＝0)＝××＝， P(X＝2)＝××＋××＝， P(X＝4)＝××＋××＝， P(X＝6)＝××＋××＝， P(X＝8)＝××＝， 所以X的分布列为 X 0 2 4 6 8 P 所以E(X)＝×0＋×2＋×4＋×6＋×8＝. 设乙同学本次竞赛中得分为Y，则Y的可能取值为0,2,4,6,8， P(Y＝0)＝3＝， P(Y＝2)＝C××2＝， P(Y＝4)＝2×＋×2＝， P(Y＝6)＝C××2＝， P(Y＝8)＝3＝， 所以Y的分布列为 Y 0 2 4 6 8 P 所以E(Y)＝×0＋×2＋×4＋×6＋×8＝， 因为<，所以乙的得分能力更强． 方法技巧 利用二项分布解题的一般步骤 (1)根据题意设出随机变量； (2)分析随机变量服从二项分布； (3)找到参数n，p； (4)写出二项分布的概率表达式； (5)求解相关概率． 针对训练 (2022·茂名一模)为了增强学生体质，某中学的体育部计划开展乒乓球比赛，为了了解学生对乒乓球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调查，男女人数相同，其中女生对乒乓球运动有兴趣的占80%，而男生有15人表示对乒乓球运动没有兴趣． (1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣 没兴趣 合计 男 女 合计 (2)为了提高同学们对比赛的参与度，比赛分两个阶段进行．第一阶段的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以2∶0取胜的同学积3分，负的同学积0分；以2∶1取胜的同学积2分，负的同学积1分．其中，小强同学和小明同学的比赛备受关注，设每局小强同学取胜的概率为P＝，记小强同学所得积分为X, 求X的分布列和期望． 附表： P(χ2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.150 0.100 0.050 k0 0.455 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 参考公式：χ2＝(n＝a＋b＋c＋d)． 解：(1)由题意得到如下的2×2列联表， 有兴趣 没兴趣 合计 男 85 15 100 女 80 20 100 合计 165 35 200 所以χ2＝≈0.866， 因为0.866<2.706，所以没有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”． (2)由题意知，X＝0,1,2,3， P(X＝0)＝2＝， P(X＝1)＝C××2＝， P(X＝2)＝C×××＝， P(X＝3)＝2＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 命题点(二)　超几何分布　 [典例]　(2022·许昌二模)“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示： 周末体育锻炼时间t/min [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) 频率 0.1 0.2 0.3 0.15 0.15 0.1 (1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)在这600人中，用分层随机抽样的方法，从周末体育锻炼时间在[40,60)内的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在[50,60)内的人数为X，求X的分布列以及数学期望E(X)． [关键点拨] 切入点 根据平均数的定义求平均数 迁移点 超几何分布 [解]　(1)估计