第二部分 第五板块 层级(二) 微专题(一) 圆的综合问题(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微专题(一)　圆的综合问题 命题点(一)　公共弦问题　 [例1]　过圆M：(x－1)2＋y2＝4内一点A(2,1)作一弦交圆于B，C两点，过点B，C分别作圆的切线PB，PC，两切线交于点P，则点P的轨迹方程为(　 ) A．y－5＝0 B．x＋y＋5＝0 C．x＋y－5＝0 D．x－y－5＝0 [关键点拨] 切入点 设P点坐标为(x0，y0)，写出以MP为直径的圆的方程，作差求得公共弦所在直线的方程，将点A(2,1)代入方程，由此得出结论 障碍点 确认点A在两圆的公共弦上 [解析]　设P点坐标为(x0，y0)， 根据圆的直径式方程知，以MP为直径的圆的方程为(x－1)(x－x0)＋y(y－y0)＝0， 两圆方程作差可得公共弦BC的方程为(x0－1)x＋yy0－x0－3＝0， 而A(2,1)在直线BC上，∴x0＋y0－5＝0，故点P的轨迹方程为x＋y－5＝0，故选C. [答案]　C [例2]　(2022·山东临沂二模)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线a2x＋2b2y＋3＝0恒过定点M的坐标为________． [关键点拨] 切入点 先求出公共弦所在直线方程，由公共弦AB的长为1结合圆中弦长公式求得a2＋b2＝3，将直线转化为a2＋6y＋3＝0，解方程组即可求得定点坐标 障碍点 求公共弦AB所在的直线方程 关键点 寻求a和b的关系式 [解析]　由C1：x2＋y2＝1和C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1可得公共弦所在直线方程为x2＋y2－[(x－a)2＋(y－b)2]＝0， 即2ax＋2by－a2－b2＝0，由公共弦AB的长为1可得直线2ax＋2by－a2－b2＝0与圆C1：x2＋y2＝1相交弦长即为1， 又圆心到直线的距离＝， 故2＝1， 即a2＋b2＝3， 故直线a2x＋2b2y＋3＝0，可化为a2x＋(6－2a2)y＋3＝0，整理得a2(x－2y)＋6y＋3＝0， 由解得故定点M的坐标为. [答案]　 方法技巧 (1)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． (2)求两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解． (3)两圆公共弦的垂直平分线过圆的圆心． 针对训练 1．已知圆C1：x2＋y2－mx－3＝0平分圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝4的周长，则m＝(　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选C　由圆C1：x2＋y2－mx－3＝0平分圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝4的周长可知，圆C1经过圆C2的一条直径的两个端点，所以圆C2的圆心在圆C1与圆C2的公共弦上，两圆方程相减整理得圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为(2－m)x＋4y－4＝0，又圆心C2(1,2)，所以2－m＋8－4＝0，所以m＝6，故选C. 2．已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0与圆O2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0相交于点A，B，则四边形AO1BO2的面积是(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B　根据条件易知O1(1,0)，O2(2，－1)，所以|O1O2|＝，圆O1：x2＋y2－2x－3＝0的半径为2， 圆O1：x2＋y2－2x－3＝0与圆O2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0相交于点A，B， AB的方程为：2x－2y－6＝0.即x－y－3＝0，圆心O1到AB的距离为：＝， 于是|AB|＝2，因为O1O2⊥AB， 所以四边形AO1BO2的面积为：|AB||O1O2|＝×2×＝2. 命题点(二)　隐圆问题　 在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”． [例1]　已知点A(－5，－5)在动直线mx＋ny－m－3n＝0上的射影为点B，若点C(5，－1)，那么|BC|的最大值为(　 ) A．16 B．14 C．12 D．10 [解析]　动直线的方程可变形为m(x－1)＋n(y－3)＝0，所以，该直线过定点Q(1,3)， 又因为点A(－5，－5)在动直线mx＋ny－m－3n＝0上的射影为点B，所以，∠ABQ＝90°， 设线段AQ的中点为点M，则M(－2，－1)， 由直角三角形的基本性质可得|BM|＝|AQ|＝＝5， 所以点B在以线段AQ为直径的圆上，即点B在圆(x＋2)2＋(y＋1)2＝25上， 又因为点C(5，－1)，故|CM|＝＝7，因此，|BC|max＝|CM|＋5＝7＋5＝12. [答案]　C [例2]　若平面内两定点A，B之间的距离为2，动点P满足|PB|＝|PA|，则tan∠ABP的最大值为(　 ) A. B．1 C. D．