第二部分 第五板块 层级(二) 微专题(二) 圆锥曲线的定义与性质(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微专题(二)　圆锥曲线的定义与性质 命题点(一)　圆锥曲线的定义及应用 [例1]　(2022·山东泰安二模)(多选)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且其右顶点为A(2,0)，左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是(　 ) A．双曲线C的方程为－＝1 B．点A到双曲线C的渐近线的距离为 C．若|PF1|＝6，则|PF2|＝2 D．若·＝0，则△PF1A的外接圆半径为 [解析]　由离心率为，右顶点为A(2,0)可得a＝2，c＝3，∴b＝，故双曲线C的方程为－＝1，A正确； 双曲线的渐近线方程为y＝±x，故点A到双曲线C的渐近线的距离为＝，B正确； 由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝2a，|PF1|＝6，则|PF2|＝2或10，C错误； ·＝0，则⊥，△PF1A的外接圆半径为＝，D正确． [答案]　ABD [例2]　(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　 ) A．13 B．12 C．9 D．6 [关键点拨] 切入点 利用椭圆定义得到|MF1|＋|MF2|＝2a＝6，借助基本不等式|MF1|·|MF2|≤2求解 隐藏点 因为|MF1|＋|MF2|＝2a＝6为定值，则|MF1|·|MF2|有最大值 [解析]　由椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝6，所以由基本不等式，得|MF1|·|MF2|≤2＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C. [答案]　C 方法技巧 (1)双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；(2)椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；(3)圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置． 针对训练 1．已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为F1，F2，记它们其中的一个交点为P，且∠F1PF2＝，则该椭圆离心率e1与双曲线离心率e2必定满足的关系式为(　 ) A.e1＋e2＝1 B．e＋e＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析：选C　如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2， 则根据椭圆及双曲线的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2， ∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2， 设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝， 则在△PF1F2中由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos， ∴化简得3a＋a＝4c2，该式变成＋＝1. 故选C. 2．(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝(　 ) A．2 B．2 C．3 D．3 解析：选B　如图，由题意可知F(1,0)，设A，则由抛物线的定义可知|AF|＝＋1.因为|BF|＝3－1＝2，所以由|AF|＝|BF|，可得＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)．不妨取A(1,2)，则|AB|＝＝＝2，故选B. 3．双曲线C：－x2＝1(a>0)的离心率为，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则d＋|PF|的最小值为(　 ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选B　由题意，＝，可得a2＝9，即a＝3(舍负)，则双曲线的渐近线方程为y＝±3x，设上焦点为F′(0，)，则|PF|－|PF′|＝2a＝6，故|PF|＝6＋|PF′|，所以d＋|PF|＝6＋d＋|PF′|，如图，d＝|PH|，所以d＋＝6＋|PH|＋，要使d＋最小，只需点P，F′，H共线，即F′H与渐近线垂直，而F′到渐近线的距离为＝1，故(d＋|PF|)min＝7.故选B. 命题点(二)　离心率及其范围　 求椭圆、双曲线的离心率，关键是求得a，c或a，b的关系，一般要利用椭圆、双曲线的几何性质、定义等. [例1]　(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　 ) A.　 B．　 C.　 D． [关键点拨] 切入点 设P(x，y)(或P(acos α，bsin α))，由B(0，b)，根据两点间的距离公式表示出|PB|2，分类讨论求出|PB|2的最大值，再构建齐次不等式，解出即可 隐藏点 在椭圆上一点P(x，y)满足－b≤y≤b(或P(acos α，bsin α)满足0≤α<2π) [解析]　易知B(0，b)．设P(acos α，bsin α)(0≤α<2π)，则|PB|2＝a2cos2α＋b2(1－sin α)2＝a2cos2α＋b2sin2α－2b2sin α＋b2＝a2(1