第二部分 第五板块 层级(二) 微专题(三) 圆锥曲线中常用结论的应用 (Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微专题(三)　圆锥曲线中常用结论的应用　 命题点(一)　抛物线的焦点弦中的常用结论　 抛物线焦点弦的常用结论： 若倾斜角为α的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞y2)两点，则 (1)焦半径|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝. (2)焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，且＋＝. (3)S△OAB＝(O为坐标原点)． [例1]　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|的最小值为4，则|AF|·|BF|的最小值是(　 ) A．2 B． C．4 D．2 [关键点拨] 切入点 根据焦点弦的性质得到p，设直线AB的倾斜角为θ，即可得到|AF|＝，|BF|＝，再根据三角函数的性质计算可得 隐藏点 当直线AB与抛物线的对称轴垂直时，|AB|最小 [解析]　抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦|AB|≥2p，故2p＝4，p＝2，设直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝，|BF|＝，则|AF|·|BF|＝×＝≥4.当且仅当sin2θ＝1，即θ＝时取等号，故选C. [答案]　C [例2]　过拋物线C：y2＝2px(p＞0)焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，＝2，O为坐标原点，且△AOB的面积为6，则抛物线C的标准方程为________． [关键点拨] 切入点 方法一：由题意设AB方程，联立抛物线方程求得y1＋y2＝2kp，y1y2＝－p2，再由线段的数量关系求k2，最后由S△AOB＝|OF|·|y1－y2|列方程求p，写出抛物线方程即可． 方法二：直接利用公式S△AOB＝ 迁移点 利用条件＝2求点A，B坐标的关系 障碍点 用变量表示△AOB的面积 [解析]　法一：由题设，设直线AB方程为x＝ky＋， 联立得y2－2kpy－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2kp，y1y2＝－p2， 又|AF|＝2|BF|，则|y1|＝2|y2|，y1＝－2y2， 所以y1＝4kp，y2＝－2kp，则－8k2p2＝－p2，即k2＝， 所以|y1－y2|＝＝2p， 又S△AOB＝|OF|·|y1－y2|＝6，而|OF|＝， 所以＝6，即p2＝16，又p＞0，则p＝4，即y2＝8x. 法二：设直线的倾斜角为α，由|AF|＝2|BF|可得＝，或＝，解得cos α＝或cos α＝－，又α∈[0，π)， 所以sin α＝，所以S△AOB＝＝＝6，解得p＝4，所以y2＝8x. [答案]　y2＝8x 方法技巧 (1)涉及抛物线y2＝2px(p＞0)的焦半径的问题都可以利用抛物线的焦半径公式|AF|＝和|BF|＝(F为抛物线焦点，AB为焦点弦，α为直线AB的倾斜角)求解．注意此时A在x轴上方，B在x轴下方． (2)涉及抛物线的焦点三角形的面积和直线的倾斜角问题要注意应用公式S△AOB＝. 针对训练 1．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B(A点在x轴上方)两点，则的值为(　 ) A．9 B．3 C．2 D． 解析：选B　法一：因为F(1,0)，所以直线AB的方程为y＝(x－1)， 所以由可得3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或x＝， 因为A点在x轴上方，所以|AF|＝3＋＝4，|BF|＝＋＝，所以＝3. 法二：＝＝＝3. 2．已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为______． 解析：法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则S＝|OF|·|y1－y2|. 抛物线y2＝16x的焦点F(4,0)，直线l方程为y＝(x－4)，直线AB即为y＝(x－4)，联立直线与抛物线的方程，得y2＝16(y＋4)，即y2－16y－64＝0，∴y1＋y2＝16，y1y2＝－64， ∴|y1－y2|＝＝＝32， ∴S＝|OF|·|y1－y2|＝×4×32＝64. 法二：直接利用公式S△OAB＝. 由公式S△AOB＝可得S△AOB＝＝64. 答案：64 命题点(二)　椭圆、双曲线中点弦中的常用结论　 关于直线与圆锥曲线相交的中点弦的有关结论(已知直线与圆锥曲线交于A，B两点，且AB的中点为M(x0，y0))： (1)当曲线是椭圆＋＝1(a＞b＞0)时，kl·kOM＝－； (2)当曲线是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)时，kl·kOM＝； (3)当曲线是抛物线y2＝2px(p>0)时，kl·y0＝p. [典例]　(1)已知椭圆G：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(，－)，则G的方程为(　 ) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 (2)已知双曲线－＝1，斜率为的