第二部分 第五板块 层级(二) 微专题(五) 解析几何中的最值与范围、探索性问题(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微专题(五)　解析几何中的最值与范围、探索性问题 命题点(一)　最值与范围问题　 求解范围、最值问题的常见方法 1利用判别式来构造不等关系. 2利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系. 3利用隐含或已知的不等关系建立不等式. 4利用基本不等式. [典例]　(2022·福建南平三模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，焦距为4，过右焦点F2且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点，已知△MNF1的周长为4，点M关于x轴的对称点为P，直线PN交x轴于点Q. (1)求椭圆C的方程； (2)求四边形MF1NQ面积的最大值． [关键点拨] 切入点 (1)由△MNF1的周长求出a，再由焦距求得c，进而求出b，即得椭圆C的方程；(2)设出直线l的方程联立椭圆方程求得y1＋y2，y1y2，表示出直线PN的方程求出Q，由SMF1NQ＝|y1－y2||F1Q|表示出面积，结合基本不等式求最大值即可 障碍点 分割四边形MF1NQ，把其面积转化为两个有公共边的三角形面积的和，进而利用公共边与点的纵坐标差的绝对值求解 [解]　(1)△MNF1的周长为4，由椭圆定义得4a＝4，即a＝.又焦距2c＝4，得c＝2， 则b＝＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)设直线l的方程为x＝my＋2(m≠0)，联立得(m2＋5)y2＋4my－1＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则y1＋y2＝－，y1y2＝－，点P(x1，－y1)，直线PN的方程为y＋y1＝(x－x1)， 令y＝0得x＝＝＝＋2＝＋2＝， 即Q，又F1(－2,0)， 故SMF1NQ＝|y1－y2||F1Q| ＝ ＝·＝· ＝·≤， 当且仅当＝时，即m＝±时等号成立，所以四边形MF1NQ面积的最大值为. 方法技巧 求四边形面积的最值，首先分割，借助三角形面积转化为函数的最值问题；求解最值应用了两个技巧：一是换元，运用函数的性质；二是利用已知或隐含的不等关系构造不等式求解． 针对训练 (2022·山东济南一中模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过左焦点和上顶点的直线l与圆(x－)2＋y2＝3相切． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线m：y＝kx＋n(k>0，n>0)与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB，AB的斜率之和为0.求三角形OAB面积的最大值． 解：(1)设椭圆的半焦距为c，则＝.　① 直线l ：y＝x＋b，则＝，即＝，　② 又a2＝b2＋c2，　③ 由①②③解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得(1＋4k2)x2＋8knx＋4n2－4＝0， 所以Δ＝64k2n2－4(1＋4k2)(4n2－4)＞0，得k2＞， x1＋x2＝－，x1x2＝， 设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k＋k2＝0， 即＋k＋＝＋＋k＝3k＋＝＝0， 所以n2＝3，又n>0，所以n＝，所以k2>＝， |AB|＝·|x2－x1|＝·＝， 原点O到直线m的距离d＝＝， 所以S△OAB＝|AB|·d＝＝≤＝1， 当且仅当＝时，即k2＝时等号成立，所以三角形OAB面积的最大值为1. 类型二| [典例]　(2022·四川遂宁三模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，坐标原点为O，离心率e＝，过F1且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，|AB|＝3；过F2且斜率为k(k≠0)的直线l与C交于P，Q点． (1)求C的标准方程； (2)令P，Q的中点为N，若存在点M(m,0)，使得MN⊥PQ，求k的取值范围． [关键点拨] 切入点 (1)用待定系数法求出C的标准方程； (2)用设而不求法表示出N，根据MN⊥PQ，得到m＝，列表达式，求出k的取值范围 障碍点 寻求参数m与k的关系式 反思点 求最值或范围的问题，目标函数中含有两个变量，要利用条件消去其中一个 [解]　(1)由题意可得：过F1且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，所以A，B，所以|AB|＝＝3. 又有e＝＝，b2＝a2－c2，解得：a2＝4，b2＝3，c＝1. 所以C的标准方程为＋＝1. (2)由(1)可知：F2(1,0)．可设直线PQ：y＝k(x－1)．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 消去y，可得：(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0. 因为F2(1,0)在椭圆内，所以直线PQ与椭圆恒有两个交点， x1＋x2＝，x1x2＝. 设N(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝k(x0－1)＝，即N. 直线PQ的方向向量为(1，k)，＝. 因为MN⊥PQ， 所以(1，k)·＝－m－＝0. 所以m＝. 因为m∈，所以解得：－＜k＜0或0＜