第二部分 第五板块 层级(二) 微专题(六) 大题专攻——“解析几何”大题的规范解题路径(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微专题(六)　大题专攻——“解析几何”大题的规范解题路径 一、题型通法点拨：圆锥曲线问题重在“设”——设点、设线　 解析几何部分知识点多，运算量大，能力要求高，综合性强，在高考试题中大都是在压轴题的位置出现，是考生“未考先怕”的题型之一，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算.因此，在遵循“设—列—解”程序化运算的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈.　 [解题示范] [应用体验] (2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． 解：(1)∵椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)， ∴可设椭圆E的方程为＋＝1， 又椭圆E过B， ∴＋＝1，得a2＝3，∴E的方程为＋＝1. (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由题意知，直线MN与y轴不垂直，设其方程为x－1＝t(y＋2)． 联立得方程组消去x并整理，得(4t2＋3)y2＋(16t2＋8t)y＋16t2＋16t－8＝0， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝. 设T(x0，y1)．由A，B，T三点共线，得＝，得x0＝y1＋3.设H(x′，y′)．由＝， 得＝，所以x′＝3y1＋6－x1，y′＝y1， 所以直线HN的斜率k＝ ＝＝， 所以直线HN的方程为y－y2＝·(x－x2)． 令x＝0，得y＝·(－x2)＋y2 ＝＋y2 ＝ ＝＝－2. 所以直线NH过定点(0，－2)． 二、解题“瓶颈”突破：合理设参，化解计算繁而杂难题　 平面解析几何中的许多问题，若解题方法不对就会使解题过程繁杂而冗长，从而影响到解题的速度和解题的准确性，通过引入参数，设而不求是解决此类问题的有效方法． 一旦合理引入参数，用参数来刻画运动变化状态，减少变量，再利用平面几何知识就会化难为易，化繁为简，收到意想不到的解题效果．设参方式一般有以下几种类型： 类型一　“单参”解题 [例1]　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为原点，直线AB(不垂直于x轴)过点F且与抛物线交于A，B两点，直线OA，OB斜率之积为－p. (1)求抛物线C的方程； (2)若M为线段AB中点，射线OM交抛物线于D点．求证：>2. [解题观摩]　(1)∵直线AB不垂直x轴， ∴直线AB的斜率k存在，且易知k≠0，记m＝， 则可设直线AB的方程为x＝my＋. 由消去x，得y2－2pmy－p2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2. ∴kOA·kOB＝＝＝－4＝－p， ∴p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝8x. (2)证明：令M(x0，y0)，则y0＝＝4m， x0＝my0＋＝4m2＋2.又kOD＝kOM＝＝， ∴直线OD的方程为y＝x. 由消去x，得y2＝·y， ∵O(0,0)，∴yD＝， ∴＝＝＝2＋>2得证． [反思领悟] 单参问题经常需要在“k参”与“m参”中选择．一般而言，选“k参”还是选“m参”可以依照：“一看已知点的坐标，二看所求问题目标”来决定．如本例中，因为已知AB过点F，而F点在x轴上，其纵坐标为零，所以设直线AB时选“m参”解题更为轻巧．　　 类型二　“双参”解题 [例2]　已知离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P，与坐标轴不平行的直线l与椭圆C交于A，B两点，其中M为A关于y轴的对称点，N(0，)，O为坐标原点． (1)求椭圆C的方程； (2)分别记△PAO，△PBO的面积为S1，S2，当M，N，B三点共线时，求S1·S2的最大值． [解题观摩]　(1)∵＝，a2＝b2＋c2，∴a＝2b， ∴椭圆C的方程可化为＋＝1. 将点P代入，得a＝2，b＝1， ∴椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)设l：y＝kx＋m(k≠0), A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M(－x1，y1)． 由消去y， 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 由Δ＝16(4k2－m2＋1)>0，得m2<4k2＋1， ∴x1＋x2＝，x1x2＝. ∵M，N，B三点共线，∴kMN＝kBN， ∴＋＝0. 化简得8k(1－m)＝0, ∴m＝或k＝0(舍去)． 设A，B两点到直线OP的距离分别为d1，d2， ∵lOP：x－2y＝0，|OP|＝， ∴d1＝，d2＝， ∴S1＝×d1×|OP|＝×× ＝|x1－2y1|， S2＝×d2×|OP|＝|x2－2y2|， ∴S1·S2＝|(x1－2y1)(x2－2y2)| ＝|(2k－)2x1x2＋(2k－)(x1＋x2)＋2| ＝. 又