第二部分 第五板块 层级(四) 创新性考法(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

强化批判性思维——让你领人一步 [典例]　(多选)如图，记椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1内部重叠区域(阴影部分)的边界为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列四个结论中正确的是(　 ) A．P到(－4,0)，(4,0)，(0，－4)，(0,4)四点的距离之和必为定值 B．曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称 C．曲线C所围区域的面积必小于36 D．曲线C的总长度必大于6π [新新点拨] 新考法 以两个椭圆为载体，考查椭圆的对称性 新思路 对A，举反例判断即可；对B，根据椭圆C1：＋＝1，C2：＋＝1关于y＝x，y＝－x对称判断即可；对C，曲线C在直线x＝±3，y＝±3围成的正方形内部判断即可；对D，根据曲线C在以原点O为圆心，3为半径的圆的外部判断即可 [解析]　对A，设F1，F2分别是椭圆C1的左、右焦点，F3，F4分别是椭圆C2的上、下焦点，则F1(－4,0)，F2(4,0)，F3(0,4)，F4(0，－4)，当|PF1|＋|PF2|＝10时，|PF3|＋|PF4|不是定值，A错误；对B，用(y，x)替换椭圆方程＋＝1中的(x，y)得＋＝1，反之亦然，因此两个椭圆关于直线y＝x对称，同理，它们也关于直线y＝－x对称，因此曲线C关于直线y＝x，y＝－x对称，B正确；对C，由椭圆方程知，曲线C在直线x＝±3，y＝±3围成的正方形内部，而正方形的面积为(2b)2＝36，故曲线C所围区域的面积必小于36，C正确；对D，由椭圆的性质可知，曲线C上的点到原点距离的最小值为3，曲线C在以原点O为圆心，3为半径的圆的外部，而圆的周长为2π×3＝6π，因此曲线C的周长必大于6π，D正确． [答案]　BCD [针对训练] (多选)已知点O(0,0)，A(4,4)，过直线OA上一点B作圆C：(x－4)2＋y2＝4的切线，切点分别为P，Q，则(　 ) A．以线段PQ为直径的圆必过圆心C B．以线段PQ为直径的圆的面积的最小值为2π C．四边形BPCQ的面积的最小值为4 D．直线PQ在x，y轴上的截距的绝对值之和的最小值为4 解析：选BC　由题知，可设点B(x0，x0)，则以BC为直径的圆方程为(x－x0)(x－4)＋(y－x0)y＝0，两圆做差可得直线PQ：(x0－4)(x－4)＋x0y＝4，易得直线PQ过定点M(3,1)，故圆心C到直线PQ的距离不是定值，PC⊥CQ不恒成立，故A选项不正确；因为直线PQ过定点M(3,1)，故当PQ⊥CM时|PQ|最小，|PQ|min＝2＝2，故最小半径为，所以线段PQ为直径的圆的最小面积为2π，B选项正确；四边形BPCQ的面积S＝|BP|·|PC|＝2|BP|＝2，|BC|min＝2，故Smin＝2＝4，C选项正确；当x0＝3时，直线PQ：－x＋3y＝0过原点O，两截距均为0，故D选项不正确． 注重发散思维——让你多人一招 [典例]　已知椭圆C：＋y2＝1，点A(2,0)，B(0,1)，设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值． [新新点拨] 新考法 在解析几何中考查与三角形面积有关的问题很常见，但是四边形的面积却鲜有考查 新思路 解决问题的关键是求出点M和点N的坐标，把四边形ABNM分割为两个三角形面积的和求解．可以直接设出点M和点N的坐标，然后寻求二者的联系，也可以设出点P的坐标，用来表示点M和点N的坐标 [一题多法] 法一：设P点坐标，表示M，N. 设P(x0，y0)，得x＋4y＝4，(x0＜0，y0＜0)， 由 A(2,0)，得直线AP：y－0＝(x－2)，可得M，由B(0,1)，得直线BP：y－1＝(x－0)，可得N， 从而有S四边形BNMA＝S△BNA＋S△MNA＝|AN|·|OB|＋|AN|·|OM|＝|AN|·|BM| ＝· ＝ ＝＝2， 从而四边形ABNM的面积为定值，定值是2. 法二：设参数，利用三角函数求解． 由P为第三象限内一点且在椭圆C上，不妨设P(2cos θ，sin θ)，θ∈， 由B，N，P三点共线，得＝λ， 即 可得N，同理由A，M，P三点共线，可得M， 从而有S四边形BNMA＝S△BNA＋S△MNA＝|AN|·|OB|＋|AN|·|OM| ＝|AN|·|BM|＝ ＝＝2， 从而四边形ABNM的面积为定值，定值是2. 法三：设M，N的坐标． 由已知P为第三象限内一点，可设N(a,0)，M(0，b)，(－2＜a＜0，－1＜b＜0) 得直线MN：＋＝1，由A(2,0)，B(0,1)，M(0，b)，N(a,0)， 得 联立可得P， 又由P在椭圆C上，得2＋42＝4， 化简得ab－a－2b＝2， 从而有S四边形BNMA＝S△BNA＋S△MNA＝|AN|·|OB|＋|AN|·|OM|＝|AN|·