第二部分 第六板块 层级(二) 微专题(二) 函数的方程及实际应用(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微专题(二)　函数的方程及实际应用 命题点(一)　函数的零点　 [例1]　(2022·汕头三模)已知函数f(x)＝若关于x的方程2f(x)－kx＋1＝0有四个不同的实根，则实数k的取值范围是(　 ) A.∪ B.∪ C.∪ D. [关键点拨] 切入点 把方程2f(x)－kx＋1＝0有四个不同的实根，转化为函数y＝f(x)和g(x)＝x－的图象有四个交点 隐藏点 f(x)是周期为1的函数 迁移点 作出两个函数的图象，利用斜率的关系求解 [解析]　当x>0时，f′(x)＝ln x， 当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0， 所以当x>0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 又当x≤0时，f(x)＝f(x＋1)， 所以根据周期为1可得x≤0时f(x)的图象，故f(x)的图象如图所示． 将方程2f(x)－kx＋1＝0，转化为方程f(x)＝x－有四个不同的实根， 令g(x)＝x－，其图象恒过， 因为f(x)与g(x)的图象有四个不同的交点，所以kCE<≤kDE或kBE<≤kAE，又由A(－3,0)，B(－2,0)，C(－2，－1)，D(－1，－1)，E， 故kCE＝，kDE＝，kBE＝－，kAE＝－， 所以<≤或－<≤－，即<k≤1或－<k≤－.故选C. [答案]　C [例2]　(2022·赣州二模)已知定义在R上的函数y＝f(x)，对任意x都满足f(x＋2)＝f(x)，且当－1≤x≤1时，f(x)＝2x2，则函数g(x)＝f(x)－ln|x|的零点个数为(　　) A．12 B．14 C．15 D．16 [关键点拨] 切入点 令g(x)＝0，即f(x)＝ln|x|，问题转化为函数y＝f(x)的图象与函数y＝ln|x|图象的交点个数问题 障碍点 利用函数值的大小判断函数y＝ln|x|与y＝f(x)是否有交点，准确作出y＝f(x)与y＝ln|x|的大致图象即可 [解析]　∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数y＝f(x)是周期为2的周期函数． 令g(x)＝f(x)－ln|x|＝0，则f(x)＝ln|x|， 由题意得函数g(x)＝f(x)－ln|x|的零点个数即为函数y＝f(x)的图象与函数y＝ln|x|的图象交点的个数． 当－1≤x≤1时，f(x)＝2x2， 在同一坐标系内画出函数y＝f(x)和函数y＝ln|x|的图象(如图所示)， 结合图象可得两函数的图象有14个交点， ∴函数g(x)＝f(x)－ln|x|的零点个数为14. [答案]　B 方法技巧 已知函数有零点求参数范围常用的方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围 分离参数法 将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决 数形结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 针对训练 1．(2022·吕梁一模)已知函数f(x)＝|3－2x－x2|的图象和直线2x＋ay＋7＝0有三个交点，则a＝______. 解析：由题设，2x＋ay＋7＝0过定点，f(x)关于直线x＝－1对称，且在(－∞，－3)，(－1,1)上均单调递减，在(－3，－1)， (1，＋∞)上均单调递增，它们的图象如图所示，要使f(x)与直线有三个交点，只需y＝－x2－2x＋3与2x＋ay＋7＝0(a≠0)相切且切点横坐标x0∈(－3，－1)即可， 所以ax2＋2(a－1)x－3a－7＝0有且只有一个根，即Δ＝4(a－1)2＋4a(3a＋7)＝0，解得a＝－或a＝－1. 当a＝－时，代入方程可得x0＝－5∉(－3，－1)；当a＝－1时，代入方程可得x0＝－2∈(－3，－1)． 综上，a＝－1. 答案：－1 2．(2022·茂名一模)已知函数f(x)＝若x1，x2，x3均不相等，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1x2x3的取值范围是__________． 解析：不妨设x1<x2<x3，由图可得，|log2x1|＝|log2x2|＝－x3＋3∈(0,1)，所以log2x1＝－log2x2，即x1x2＝1，由f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，得x3∈(2,3)，所以x1x2x3的取值范围是(2,3)． 答案：(2,3) 命题点(二)　嵌套函数的零点问题　 [例1]　(2022·长春外国语期初考)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是(　 ) A. B．∪(0,1) C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞) [关键点拨] 切入点 换元，令u＝f(x) 隐藏点 分a＝0，a≠0两种情况进行讨论 迁移点 由f(f(x))＝0可得出f(x)的值或取值范围 [解析]　令u＝f(x)，则f＝0.①当a＝0