第二部分 第六板块 层级(二) 微专题(三) 导数小题中的综合问题(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微专题(三)　导数小题中的综合问题 命题点(一)　函数的公切线问题　 公切线定理代数表达 当y＝f(x)与y＝g(x)具有公切线时，设直线与y＝f(x)切于点(x1，f(x1))，与y＝g(x)切于点(x2，g(x2))，①当y＝f(x)与y＝g(x)切于同一点，设切点为P(x0，y0)，则有 ②当y＝f(x)与y＝g(x)为平行曲线，即g(x)＝f(x＋a)－b，则有f′(x1)＝f′(x2)＝＝. ③公切线方程的等量关系f′(x1)＝g′(x2)＝，求参数取值范围或者切点的取值范围． [例1]　(2022·南阳模拟)如果直线l与两条曲线都相切，则称l为这两条曲线的公切线，如果曲线C1：y＝ln x和曲线C2：y＝(x>0)有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是(　 ) A. B．(0,1) C. D． [关键点拨] 切入点 求出两条曲线的切线 隐藏点 转化为(lnx1－2)＝－2有且仅有两解 迁移点 构造函数f(x)＝(ln x－2)(x>0)，利用导数研究单调性和极值 [解析]　设曲线C1：y＝ln x上一点A，y′＝，切线方程为y＝x－1＋lnx1. 设曲线C2：y＝(x>0)上一点B，y′＝，切线方程为y＝x＋1－. 若直线l与两条曲线都相切， 则有消去x2，得(lnx1－2)＝－2. 因为曲线C1：y＝ln x和曲线C2：y＝(x>0)有且仅有两条公切线， 所以＝－2有且仅有两解． 记f(x)＝(x>0)， 则f′(x)＝＋×＝. 令f′(x)>0，得x>1，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增；令f′(x)<0，得0<x<1，所以f(x)在(0,1)上单调递减． 所以f(x)min＝f(1)＝－2. 又由f(x)＝0，解得x＝e2. 当x→0＋时，则f(x)→0；当x→＋∞时，则f(x)→＋∞. 而－2≤0，所以要使＝－2有且仅有两解， 只需－2<－2<0，解得0<a<1.故选B. [答案]　B [例2]　(2022·桂林、梧州一模)若曲线y＝ln x在点P(e,1)处的切线与曲线y＝eax相切，则a＝________. [解析]　因为y＝ln x，所以y′＝，则y′＝， 所以曲线y＝ln x在点P处的切线方程为y＝x. [答案]　 方法技巧 确定两曲线的公切线问题，切点是切线的核心，解决这类问题的关键是设出切点的坐标，用好相切的特征，即若两个函数的图象有相同的切线，则需根据函数与切线在切点处的函数值相等以及两函数在切点处的导函数的函数值也相等，构建方程(组)加以求解． 针对训练 1．已知函数y＝x2的图象在点(x0，x)处的切线为l，若l也与函数y＝ln x，x∈(0,1)的图象相切，则x0必满足(　 ) A．0<x0< B．<x0<1 C.<x0< D．<x0< 解析：选D　函数y＝x2的导数为y′＝2x，图象在点(x0，x)处的切线的斜率为k＝2x0，切线方程为y－x＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－x，设切线与y＝ln x相切的切点为(m，ln m)，0<m<1，由y＝ln x的导数为y′＝，切线方程为y－ln m＝(x－m)，即y＝x－1＋ln m，∴2x0＝，x＝1－ln m．由0<m<1，可得x0>且x>1，解得x0>1，消去m，得x－ln(2x0)－1＝0，令f(x)＝x2－ln(2x)－1，x>1，f′(x)＝2x－>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且f()＝2－ln 2－1<0，f()＝3－ln 2－1>0，所以∃x0∈(，)，使得f(x0)＝0，即x－ln(2x0)－1＝0.故选D. 2．(2022·晋中二模)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是(　 ) A．(0,2e] B． C. D．[2e，＋∞) 解析：选B　设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的交点分别为(x1，ln x1－1)，(x2，ax)，其中x1>0. 对于y＝ln x－1，y′＝，所以与曲线y＝ln x－1相切的切线方程为y－(ln x1－1)＝(x－x1)，即y＝＋(ln x1－2)．对于y＝ax2，y′＝2ax，所以与曲线y＝ax2相切的切线方程为y－ax＝2ax2(x－x2)，即y＝2ax2x－ax，所以 命题点(二)　利用导数研究函数的性质　 [例1]　(多选)对于函数f(x)＝，下列选项正确的是(　 ) A．函数f(x)极小值为－，极大值为 B．函数f(x)单调递减区间为∪，单调递增区为∪ C．函数f(x)最小值为－e，最大值为e D．函数f(x)存在两个零点1和－1 [关键点拨] 切入点 先分析函数f(x)的奇偶性 隐藏点 仅需探究当x>0时的情况 迁移点 利用导数求得f(x)的单调区间、极值和零点 [解析]　f(x