第二部分 第六板块 层级(二) 微专题(六) 导数与不等式的证明问题(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微专题(六)　导数与不等式的证明问题 命题点(一)　单变量不等式的证明问题　 [典例]　(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝xeax－ex. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x>0时，f(x)<－1，求a的取值范围； (3)设n∈N*，证明：＋＋…＋>ln(n＋1)． [关键点拨] 切入点 求出f′(x)，讨论其符号后可得f(x)的单调性 隐藏点 设h(x)＝xeax－ex＋1，求导后进行分类讨论 迁移点 由(2)可得2ln t<t－对任意的t>1恒成立，从而可得ln(n＋1)－ln n<对任意的n∈N*恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式 [解]　(1)当a＝1时，f(x)＝xex－ex，f′(x)＝xex， 当x>0时，f′(x)＝xex>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当x<0时，f′(x)＝xex<0，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减． (2)设h(x)＝xeax－ex＋1，则h(0)＝0，又h′(x)＝(1＋ax)eax－ex，设g(x)＝(1＋ax)eax－ex， 则g′(x)＝(2a＋a2x)eax－ex， 若a>，则g′(0)＝2a－1>0， 因为g′(x)为连续不间断函数，故存在x0∈(0，＋∞)，使得∀x∈(0，x0)，总有g′(x)>0，故g(x)在(0，x0)上为增函数，故g(x)>g(0)＝0，故h(x)在(0，x0)上为增函数，故h(x)>h(0)＝0，与题设矛盾． 若0<a≤，则h′(x)＝(1＋ax)eax－ex＝eax＋ln(1＋ax)－ex， 下证：对任意x>0，总有ln(1＋x)<x成立， 证明：设S(x)＝ln(1＋x)－x，故S′(x)＝－1＝<0，故S(x)在(0，＋∞)上为减函数，故S(x)<S(0)＝0，即ln(1＋x)<x成立． 由上述不等式有eax＋ln(1＋ax)－ex<eax＋ax－ex＝e2ax－ex≤0，故h′(x)≤0总成立，即h(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以h(x)<h(0)＝0. 当a≤0时，有h′(x)＝eax－ex＋axeax<1－1＋0＝0，所以h(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以h(x)<h(0)＝0. 综上，a的取值范围为. 取t＝(n∈N*)，则2ln t＝ln(n＋1)－ln n<－＝，∴＋＋…＋>ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋…＋ln(n＋1)－ln n＝ln(n＋1)，故结论得证． 方法技巧 证明不等式的基本方法 利用单调性 若f(x)在[a，b]上是增函数，则 ①∀x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)； ②∀x1，x2∈[a，b]，且x1＜x2，有f(x1)＜f(x2)． 对于减函数有类似结论 利用最值 若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则∀x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m) 构造函数 证明f(x)＜g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)＜0 针对训练 (2022·邯郸模拟)设函数f(x)＝x3＋ln(x＋1)． (1)求曲线y＝f(x)在处的切线方程； (2)证明：当n∈N*且n≥2时，ln(n＋1)>＋＋…＋. 解：(1)显然，x∈(－1，＋∞)，且f′(x)＝3x2＋，故f′(0)＝1，故切线方程为y－0＝f′(0)(x－0)，即y＝x. (2)证明：令g(x)＝x3＋ln(x＋1)－x2， g′(x)＝3x2－2x＋＝＝. 当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 故g(x)>g(0)＝0， 即当x>0时，ln(x＋1)＋x3－x2>0. 令x＝，得ln＋－>0， 即ln(n＋1)－ln n>－＝， 由此可得，ln 2－ln 1>－＝0， ln 3－ln 2>－＝， … ln(n＋1)－ln n>－＝， 将以上n个式子相加，得ln(n＋1)>＋＋…＋，n∈N*且n≥2. 命题点(二)　极值点偏移问题(双变量不等式)　 近几年高考中经常出现极值点偏移问题的题目，采用对称化构造函数法和比值代换法进行研究，该类问题思维含量高，过程繁琐，计算量大，在解答题中以压轴题的形式出现，题目的综合性强，难度大. [典例]　(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝－ln x＋x－a. (1)若f(x)≥0，求a的取值范围； (2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1. [关键点拨] 切入点 由导数确定函数单调性及最值 隐藏点 f(x)的零点满足x1<1<x2，要证x1x2<1，即证x1< 迁移点 转化要证明条件为－－2>0 [解]　(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． 由f′(x)＝－＋1＝＝， 可得函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．