第二部分 第六板块 层级(三) 应用性考法(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

一、例析新情境题目，内化建模素养 [典例1]　(价值引领——聚焦生产生活，分析解决问题) (2022·连云港模拟)现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60 ℃.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃、65 ℃，给出三个茶温T(单位：℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位：分钟)的函数模型：①T＝at＋b(a<0)；②T＝at2＋bt(a<0)；③T＝20＋b·at(b<0,0<a<1)．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温T(单位：℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位：分钟)的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.5)(　 ) A．1分钟 B．2分钟 C．3分钟 D．4分钟 [4“步”建模] 模型求解：根据生活常识，茶温一般不低于室温，若选择模型①或模型②，茶温T在一定时间后会低于室温，不合题意，故选择模型③较为合适，则解得此时T＝80·t＋20≤60，得t≥log＝＝≈3. 故选C. [答案]　C [典例2]　(价值引领——渗透“五育”教育，促进全面发展) 如图为某小区足球场的平面示意图，AB为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的P点处接球，此时tan∠APB＝，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点Q点处射门，为获得最佳的射门角度(即∠AQB最大)，则射门时甲离上方端线的距离为(　 ) A．5 B．5 C．10 D．10 [4“步”建模] 模型求解：设AB＝x，并根据题意作图，由图和题意得，PH＝25，BH＝10，所以tan∠BPH＝＝＝，且tan∠APB＝，所以tan∠APH＝tan(∠APB＋∠BPH)＝＝， 又tan∠APH＝＝＝＝， 解得x＝5，即AB＝5， 设QH＝h，h∈[0,25]， 则AQ＝＝， BQ＝＝， 所以在△AQB中， 有cos∠AQB＝ ＝， 令m＝h2＋150(150≤m≤775)，所以h2＝m－150， 所以cos∠AQB＝ ＝， 因为150≤m≤775， 所以≤≤，则要使∠AQB最大， 即cos∠AQB＝要取得最小值， 即取得最大值， 即－＋＋1在≤≤取得最大值， 令t＝∈，f(t)＝－3 750t2＋25t＋1， 则f(t)的对称轴为t＝， 所以f(t)在上单调递增，在上单调递减，所以当t＝时，f(t)取得最大值，即∠AQB最大，此时＝，即m＝300，所以h2＝150，所以h＝5， 即为获得最佳的射门角度(即∠AQB最大)，射门时甲离上方端线的距离为5米． [答案]　B [典例3]　(价值引领——创新学科情境，挑战高阶思维) 以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容．其定理如下：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象不间断，在开区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内至少存在一个点ξ∈(a，b)，使得f(b)－f(a)＝f′(ξ)(b－a)，ξ称为函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的中值点．则函数f(x)＝tan x在区间上的中值点的个数为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　由题意，函数f(x)＝tan x，x∈. 所以f＝－1，f＝1，f′(x)＝， 所以f－f＝2，f′(ξ)＝， 由拉格朗日中值定理得2＝·， 即cos2ξ＝，所以cos ξ＝±， 由于x∈时，cos x∈， 所以cos ξ＝－在x∈无解， cos ξ＝在x∈上有2个解． 所以函数f(x)＝tan x在区间上中值点的个数为2. [答案]　B 二、挖掘新教材素材，把握新命题动向 高考源于教材——教材案例发掘好 [典例1]　(人教A版必修一P115“阅读与思考”原创命题)生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C会按确定的比率衰减(称为衰减率)，C与死亡年数t之间的函数关系式为C＝ (k为常数)，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于(　 ) 参考数据：log20.85≈－0.23；参考时间轴： A．战国 　 B．汉 C．唐 D．宋 [答案]　C [典例2]　(人教B版必修二P45T1改编)新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到报告生成平均耗时t(n)(单位：小时)的关系大致为t(n)＝(t0，N0为常数)．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过