第一部分 新高考印象(三) 结构不良题—引导学生多角度、开放性地思考问题(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

新高考印象(三)　结构不良题— 结构不良问题具有条件模糊、解决方案多样、结果开放等特点，其解决过程能有效激发学生求知欲，促进学生思维发展水平的提升．结构不良问题一般具有初始状态、目标状态、中间状态至少有一个不确定的特点，常见的主要类型有： (1)问题目标明确、条件多种选择；(2)问题目标界定不明确；(3)问题解决具有多种方法、途径；(4)问题条件或数据冗余． 问题目标明确、条件多种选择 [例1]　在①＝n；②an＋1－an＝2，S3＝9；③an＝(a2－1)n－1三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答． 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足________． (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. [审题指导]　(1)选①：由an＝得an； 选②：由条件可得a1和公差d，进而可得an； 选③：先求得a2，进而可得an. (2)求得bn，用裂项相消法可得其前n项和Tn. [解]　(1)选①＝n： 由＝n得Sn＝n2，a1＝S1＝12＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 因为a1＝1＝2×1－1， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)． 选②an＋1－an＝2，S3＝9： 由an＋1－an＝2知数列{an}是公差d＝2的等差数列， 则S3＝3a1＋×3×2×d＝3a1＋6＝9，得a1＝1， 所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)． 选③an＝(a2－1)n－1： 由an＝(a2－1)n－1， 知a2＝2(a2－1)－1＝2a2－3，得a2＝3， 所以数列{an}的通项公式为an＝(a2－1)n－1＝2n－1(n∈N*)． (2)因为an＝2n－1， 所以bn＝＝ ＝， 则数列{bn}的前n项和Tn ＝ ＝＝. [微点拨]　通过这样的设计，目的是希望学生在具体解答题目前有初步的判断，在提供的选择项中选一个自己擅长的或自认为有把握的，给学生搭建展示自己的平台．多种条件供选择题目的设计，有利于考查学生所学知识的广度，有利于促进学生的全面发展，有效规避备考中的猜题、押题等“投机取巧”行为． 问题目标界定不明确 [例2]　已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线的准线交x轴于C，A，B，D为抛物线上三点(其中D在第一象限)，|DF|＝4，|CD|＝4. (1)求p的值； (2)已知O为坐标原点，李同学从条件①kOA＋kOB＝－2出发，而刘同学从条件②kADkBD＝a出发，若要使得两位同学探索得到相同的结果“直线AB过同一个定点”，试问如何设计实数a的值． [审题指导]　本题(2)问基于直线AB过同一个定点，但定点究竟是哪个点尚不明确，需要从李同学的条件入手，得到直线过定点(0,4)，再结合刘同学的条件，求得实数a的值． [解]　(1)设D(x，y)，C， 由题可知|DF|＝x＋＝4⇒x＝4－，y2＝8p－p2. 则|CD|＝4＝ ，得p＝4. (2)由(1)知D(2,4)，显然直线AB不平行于x轴， 设直线AB：λy＝x＋m，A，B， ⇒y2－8λy＋8m＝0，y1＋y2＝8λ， y1y2＝8m. 李同学：kOA＋kOB＝＋＝＝＝－2⇒m＝－4λ， 即直线AB：λy＝x－4λ，直线过定点(0，－4)． 刘同学：kADkBD＝· ＝ ＝， 代入m＝－4λ可知kADkBD＝4.因此，a的值为4. [微点拨]　目标界定不明确类题目有利于培养学生的求异思维、创新思维，是培养创新性人才的有益尝试．解决此类问题需“顺藤摸瓜”，利用所给条件，综合运用发散思维、逆向思维，结合所学知识，创新解决问题． 条件自由组合，由二证一 [例3]　(2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x. (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． [审题指导]　(1)利用焦点坐标求c的值，利用渐近线方程得a，b的关系进而求得a2，b2. (2)先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设AB的斜率为k，M(xM，yM)，由③|MA|＝|MB|等价分析得xM＋kyM＝；由PM和QM的斜率得直线方程，结合双曲线方程及两点距离公式得PQ的斜率；由②PQ∥AB等价转化为kyM＝3xM；由①M在AB上等价于kyM＝k2(xM－2)． [解]　(1)