第二部分 第一板块 层级(二) 微专题(二) 平面向量(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微专题(二)　平面向量 命题点(一)　三点共线的应用　 [典例]　(1)在△ABC中，点D在BC上，且满足|BD|＝|BC|，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足＝x＋y，则＋的最小值为(　 ) A．2 B．4 C．4＋2 D．9＋4 (2)在四边形ABCD中，AB∥CD，设＝λ＋μ (λ，μ∈R)．若λ＋μ＝，则＝(　 ) A. B． C. D． [解析]　(1)因为|BD|＝|BC|，＝x＋y，所以＝x＋4y.由A，E，D三点共线可得x＋4y＝1，且x>0，y>0.所以＋＝(x＋4y)＝9＋＋≥9＋2＝9＋4，当且仅当x＝y，即时取等号． (2)∵AB∥CD， ∴设＝k，则＝k，k>0， ∵＝＋＝k＋＝λ＋μ， ∴∵λ＋μ＝， ∴1＋k＝，即k＝，即＝.故选C. [答案]　(1)D　(2)C 方法技巧 平面向量中的爪子模型指三点共线的向量问题模型，由于其几何图形看起来像爪子，故称之为爪子模型．解题关键点如下： (1)确定共线的三点：找到平面内共线的三点M，O，N和任意一点A. (2)写成规范形式：＝x＋y. (3)应用结论：M，O，N三点共线⇔存在实数λ，使得＝λ＋(1－λ). 针对训练 1．在梯形ABCD中，AB∥CD且AB＝4CD，点P在边BC上，若＝＋λ，则实数λ＝(　 ) A. B． C. D． 解析：选A　延长AD，BC交于点E，则B，P，E三点共线，于是可得＝＋， 因为AB∥CD且AB＝4CD，所以＝，所以＝＋×＝＋，故λ＝. 2．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若＝，则△ABC与△APQ面积的比值为________． 解析：设＝μ (0<μ≤1)，因为G为△ABC的重心，所以＝(＋)＝＝＋，由P，G，Q三点共线， 得＋＝1，解得μ＝， 所以＝ ＝＝. 答案： 命题点(二)　平面向量中的最值和范围问题　 [例1]　已知向量|a|＝3，|b|＝4，且a⊥b，c＝λa＋(1－λ)b(λ∈R)，则|c|的最小值为(　 ) A. B． C. D． [解析]　∵向量|a|＝3，|b|＝4，且a⊥b，∴c2＝[λa＋(1－λ)b]2＝λ2a2＋(1－λ)2b2， ∴c＝＝＝≥＝， 当且仅当λ＝时取等号，即|c|的最小值为. [答案]　B [例2]　(2022·济宁一模)等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则·＋·的最大值为(　 ) A．4 B．7 C．8 D．11 [关键点拨] 切入点 以圆心O为原点，AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求出A，B，C的坐标 隐藏点 P是该圆上的动点，P点坐标可设为P(2cos θ，2sin θ) 迁移点 向量问题坐标化，转化为求三角函数的最值 [解析]　如图，等边三角形ABC，O为等边三角形ABC的外接圆的圆心，以O为原点，AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．因为AO＝2，所以A(0,2)，设等边三角形ABC的边长为a，则＝＝2R＝4，所以a＝2，则B(－，－1)，C(，－1)． 又因为P是该圆上的动点，所以设P(2cos θ，2sin θ)，θ∈[0,2π]， 则＝(－2cos θ，2－2sin θ)，＝(－－2cos θ，－1－2sin θ)，＝(－2cos θ，－1－2sin θ)， ·＋·＝－2cos θ(－－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－－2cos θ)(－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2cos θ＝4＋4sin，因为θ∈[0,2π]，θ＋∈，sin∈[－1,1]，所以当sin＝1时，·＋·的最大值为8. [答案]　C 方法技巧 平面向量中有关最值、范围问题求解的两种思路 形化 利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断 数化 利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决 针对训练 1.如图，在直角梯形ABCD中，A＝B＝90°，AD＝4，AB＝BC＝2，点M在以CD为直径的半圆上，且满足＝m＋n，则m＋n的最大值为(　 ) A．2 B．3 C．－ D． 解析：选D　取CD的中点O为原点，，的方向分别为x轴、y轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，设∠MOx＝θ，则M(cos θ，sin θ)，A(－1，－3)，B(1，－3)，D(－1,1)，＝(cos θ＋1，sin θ＋3)，＝(2,0)，＝(0,4)，故＝m＋n，即则m＋n＝cos θ＋sin θ＋＝sin(θ＋φ)＋，其中φ为锐角且tan φ＝2>1，故<φ<.当θ＝－