第二部分 第一板块 层级(二) 微专题(四) 大题专攻——“解三角形”大题的规范解题路径(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微专题(四)　大题专攻——“解三角形”大题的规范解题路径 解三角形问题重在“变”——变角、变式　 尽管解三角形大题难度一般，但由于其公式多、性质繁，让不少同学解此类题目费神费力，消耗过多时间．解三角形问题关键在于“变”——变角与变式．从“变角”来看，主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·，＝－等；从“变式”来看，在解决解三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．　 [解题示范] [关键点拨] 1．利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤 2．解三角形中的注意点 (1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． (2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0<A<π，b－c<a<b＋c，三角形中大边对大角等． (3)注意挖掘特殊关系量，如： ①已知两角A，B与一边a， 由A＋B＋C＝π及＝＝，可求出角C，再求b，c； ②已知两边b，c与其夹角A， 由a2＝b2＋c2－2bccos A，求出a，再由余弦定理，求出角B，C； ③已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C. [应用体验] (2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝. (1)求△ABC的面积； (2)若sin Asin C＝，求b. 解：(1)由S1－S2＋S3＝，得(a2－b2＋c2)＝，即a2－b2＋c2＝2， 又a2－b2＋c2＝2accos B，所以accos B＝1. 由sin B＝，得cos B＝或cos B＝－(舍去)，所以ac＝＝，则△ABC的面积S＝acsin B＝××＝. (2)由sin Asin C＝，ac＝及正弦定理知＝＝＝，即b2＝×＝，得b＝. [课时验收评价]　　　　　“解三角形”大题规范增分练 1．(2022·泰安二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2asin2＝bsin A，A的角平分线交BC于点D. (1)求B； (2)若c＝，AD＝，求b. 解：(1)因为2asin2＝bsin A，所以a(1－cos B)＝bsin A，由正弦定理得sin A(1－cos B)＝sin Bsin A，整理得sin B＋cos B＝1，所以sin＝，因为B∈(0，π)，所以B＋∈，所以B＋＝，所以B＝. (2)在△ABD中，＝，所以sin∠ADB＝＝，所以∠ADB＝，所以∠BAD＝∠DAC＝，所以∠ACB＝∠BAC＝，所以△ABC是等腰三角形，且a＝c，所以b＝2acos＝. 2．(2022·潮州二模)已知在△ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三边，c＝2bcos B，C＝. (1)求角B的大小； (2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC边上的中线的长度． ①△ABC的面积为； ②△ABC的周长为4＋2. 解：(1)∵c＝2bcos B，则由正弦定理可得sin C＝2sin Bcos B，∴sin 2B＝sin＝，∵C＝， ∴B∈，2B∈， ∴2B＝，解得B＝. (2)若选择①，由(1)可得A＝，即a＝b， 则S△ABC＝absin C＝a2·＝，解得a＝， 则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为 ＝＝. 若选择②：由(1)可得A＝，设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得a＝b＝2Rsin＝R，c＝2Rsin＝R， 则周长a＋b＋c＝2R＋R＝4＋2，解得R＝2，则a＝2，c＝2， 由余弦定理可得BC边上的中线的长度为＝. 3．(2022·青岛一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. (1)求角A； (2)若b＝5，BC边上的高为，求边c. 解：(1)因为(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C， 所以sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C， 所以由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc， 所以由余弦定理得cos A＝＝＝， 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由三角形面积公式得S△ABC＝ah＝×a＝a，S△ABC＝bcsin A＝×5c×sin＝c， 所以a＝c，即a＝c，由余弦定理得a2＝25＋c2－5c， 将a＝c代入上式得c2＋16c－80＝0，解得c＝4或c＝－20(舍去)，所以边c＝4. 4.如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1