第二部分 第一板块 层级(四) 创新性考法(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

强化批判性思维——让你领人一步 [典例]　(多选)在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或互联网能感受到，而信号处理背后的“功臣”就是正弦函数．函数f(x)＝的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是(　 ) A．函数f(x)为周期函数，且最小正周期为π B．函数f(x)的图象关于点(2π，0)对称 C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数f(x)的导函数f′(x)的最大值为4 [新新点拨] 新考法 本题从信号波形模型函数为载体考查函数的性质，诱导公式及三角函数的最值问题 新思路 A项代入π验证，B项利用f(a＋x)＋f(－x)＝0，f(x)的图象关于对称，判断图象是否关于点(2π，0)对称，C项利用f(a－x)＝f(x)，则f(x)的图象关于x＝对称求解，D项掌握复合函数求导法则即可 [解析]　f(x)＝sin x＋＋＋，f(x＋π)＝sin(x＋π)＋＋＋＝－sin x－－－＝－f(x)≠f(x)，所以π不是f(x)的最小正周期，故A错误．f(－x)＝sin(－x)＋＋＋＝－sin x－－－，f(x＋4π)＝sin(x＋4π)＋＋＋＝sin x＋＋＋，所以f(x＋4π)＋f(－x)＝0，故函数f(x)的图象关于点(2π，0)对称，故B正确；f(π－x)＝sin(π－x)＋＋＋＝sin x＋＋＋＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；f′(x)＝cos x＋cos 3x＋cos 5x＋cos 7x≤4，所以函数f′(x)的最大值为4，D正确． [答案]　BCD [针对训练] 已知函数f(x)＝|sin x|＋|cos x|－sin 2x－1，则下列说法正确的是(　 ) A．直线x＝是函数f(x)图象的对称轴 B．函数f(x)在区间上单调递增 C．函数f(x)的最大值为，最小值为－2 D．函数f(x)在区间(0，Mπ)内恰有2 022个零点，则1 011<M≤ 解析：选D　对于A，f(π－x)＝|sin(π－x)|＋|cos(π－x)|－sin[2(π－x)]－1＝|sin x|＋|cos x|＋sin 2x－1≠f(x)，故直线x＝不是函数f(x)图象的对称轴，故A错误． 对于B，当x∈时，sin x>0，cos x<0，所以f(x)＝sin x－cos x－sin 2x－1， 则f′(x)＝sin x＋cos x－2cos 2x＝sin－2cos 2x. 当x∈时，函数y＝sin单调递减，函数y＝2cos 2x单调递增，故f′(x)＝sin－2cos 2x在区间内单调递减，且f′＝0， 则当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在区间上不单调，故B错误． 对于C，由于f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＋|cos(x＋π)|－sin[2(π＋x)]－1＝f(x)，所以π是f(x)的一个周期，故只需考虑f(x)在[0，π]上的最值即可． 当x∈时，f(x)＝sin x＋cos x－(sin 2x＋1)＝－(sin 2x＋1)，令t＝，t∈[1，]，则g(t)＝－t2＋t在[1，]上单调递减，故g(t)max＝g(1)＝0，g(t)min＝g()＝－2＋.当x∈时，f(x)＝sin x－cos x－sin 2x－1＝＋(1－sin 2x)－2，令s＝，s∈[1，]，则h(s)＝s2＋s－2在[1，]上单调递增，故h(s)max＝h()＝，h(s)min＝h(1)＝0. 综上，f(x)的最大值为，最小值为－2＋，故C错误． 对于D，由于π是f(x)的一个周期，故先考虑f(x)在(0，π]上的零点情况．f(x)＝|sin x|＋|cos x|－sin 2x－1＝－(1＋sin 2x)，当且仅当sin 2x＝0时，f(x)＝0，此时x＝或x＝π，即f(x)在(0，π]内的零点有2个，故当n∈N*时，函数f(x)在(0，nπ]内的零点有2n个．由于函数f(x)在区间(0，Mπ)内恰有2 022个零点，所以1 011<M≤1 011＋＝，可得1 011<M≤，故D正确． 注重发散思维——让你多人一招 [典例]　在△ABC中，P为△ABC所在平面内一点，且2BP＝BC，·＝3，AB＝4，则AC的最小值为________． [新新点拨] 新考法 平面向量与解三角形的结合，平时训练鲜有见到 新思路 由题意，点P的轨迹是以B为圆心，BP为半径的圆．将·分解，得2＝4(2－3)，将求AC的最小值转化为求PD的最小值，根据余弦定理求解 [解析]　依题意，作出示意图如图，设BC＝2r(r>0)，则BP＝r，点P的轨迹是以点B为圆心，r为半径的圆． 取AC的中点D，连接PD， 则·＝(＋)·(＋)＝2－2