第二部分 第二板块 层级(二) 微专题(一) 数列求和(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微专题(一)　数列求和 命题点(一)　分组转化法求和　 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和.注意在含有字母的数列中对字母的讨论. [典例]　(2022·济南二模)已知{an}是递增的等差数列，a1＋a5＝18，a1，a3，a9分别为等比数列{bn}的前三项． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)删去数列{bn}中的第ai项(其中i＝1,2,3，…)，将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Sn. [关键点拨] 切入点 (1)根据题意可列出方程组，求得等差数列的公差，继而求得等比数列的首项和公比，即得答案． (2)删去数列{bn}中的第ai项(其中i＝1,2,3，…)后，求和时讨论n的奇偶性，并且分组求和，即可求得答案 障碍点 求数列{cn}的前n项和Sn要分n为奇数还是偶数进行讨论 [解]　(1)设数列{an}的公差为d(d>0)，数列{bn}的公比为q， 由已知得解得a1＝3，d＝3，所以an＝3n. 所以b1＝a1＝3，q＝＝3，所以bn＝3n. (2)由题意可知新数列{cn}为b1，b2，b4，b5，…， 若n＝1，则S1＝b1＝3，也符合上式． 方法技巧 (1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差数列或等比数列，则可以采用分组求和法求数列{cn}的前n项和； (2)若数列{cn}的通项公式为cn＝且数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，则可以采用分组求和法求数列{cn}的前n项和； (3)若数列的通项公式中有(－1)n等特征，根据正负号分组求和． 针对训练 (2022·菏泽二模)已知数列{an}中a1＝1，它的前n项和Sn满足2Sn＋an＋1＝2n＋1－1. (1)证明：数列为等比数列； (2)求S1＋S2＋S3＋…＋S2n. 解：(1)证明：由2Sn＋an＋1＝2n＋1－1，　① 得2Sn－1＋an＝2n－1(n≥2)，　② 由①－②，得an＋an＋1＝2n(n≥2)， 由an＋1＝－an＋2n⇒an＋1－＝－(n≥2)， 又当n＝1时，由①得a2＝1⇒a2－＝－， 所以对任意的n∈N*，都有an＋1－＝－， 故是以为首项，－1为公比的等比数列． (2)由(1)知an－＝⇒an＝， 所以an＋1＝，代入①，得Sn＝－－， 所以S1＋S2＋…＋S2n＝(22＋23＋…＋22n＋1)－[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)2n]－ ＝－0－n＝. 命题点(二)　错位相减法求和　 若数列{an}和{bn}分别是等差数列和等比数列，则求其积数列{an·bn}的前n项和，可以运用错位相减法. [典例]　(2022·石家庄二模)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1,2an＋1＝Sn＋2(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{bn}满足bn＝an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. [关键点拨] 切入点 (1)根据an与Sn得关系，计算即可得出答案． (2)求出数列{bn}的通项公式，再利用错位相减法求和 障碍点 求Tn时错位相减法后得到等比数列，注意准确确定其项数 [解]　(1)当n≥2时，由2an＋1＝Sn＋2，得2an＝Sn－1＋2，两式相减得2an＋1－2an＝an，所以＝， 因为a1＝1，a2＝＝，所以＝， 所以数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，通项公式an＝n－1. (2)bn＝an·＝(n－2)·n－1， 则Tn＝－1×0＋0×＋1×2＋…＋(n－2)·n－1，Tn＝－1×＋0×2＋1×3＋…＋(n－3)·n－1＋(n－2)·n， 两式相减得 －Tn＝－1＋＋2＋…＋n－1－(n－2)·n＝－2＋－(n－2)n， 所以Tn＝2(n－4)n＋8. 方法技巧 运用错位相减法求和的关键 判断模型 判断数列{an}，{bn}是不是一个为等差数列，一个为等比数列 错开位置 为两式相减不会看错列做准备 相减 相减时一定要注意最后一项的符号 针对训练 (2022·临沂二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1. (1)求{an}的通项公式； (2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由Sn＋1＝2Sn＋1，得Sn＝2Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)，∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1， ∴an＋1＝2an(n≥2，n∈N*)． 又a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1， ∴a2＋a1＝2a1＋1，整理得a2＝2a1. ∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由(1)得an＝2n－1， ∴bn＝＝＝. ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，