第二部分 第二板块 层级(二) 微专题(四) 大题专攻——“数列”大题的规范解题路径(Word教师用书)-【新高考方案】2023高考数学二轮复习专题增分方略（新教材）

微专题(四)　大题专攻——“数列”大题的规范解题路径 数列问题重在“归”——化归　 等差数列与等比数列是我们最熟悉的两个基本数列，在高中阶段它们是一切数列问题的出发点与落脚点．首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量，凡是涉及这两个数列的问题，我们总希望把已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系，从而达到解决问题的目的．这种化归为基本量处理的方法是解决等差或等比数列问题特有的方法．对于不是等差或等比的数列，可通过转化化归，转化为等差(比)数列问题或相关问题求解．由于数列是一种特殊的函数，也可根据题目特点，将数列问题化归为函数问题来解决．　 ———————————————————————————————————————— [解题示范] [应用体验] 已知数列{an}是递增的等比数列，且各项均为正数，其前n项和为Sn，a1·a5＝81，S2，a3，a4－S3成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若________，求{an·bn}的前n项和Pn，并求Pn的最小值． 从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面的横线上，并解答此问题． ①数列{bn}满足b1＝，3bn＋1＝·bn(n∈N*) ； ②数列{bn}的前n项和Tn＝n2(n∈N*) ； ③数列{bn}的前n项和Tn满足6Tn－bn＝5(n∈N*) . 解：(1)设数列{an}的公比为q，则由an>0，a1·a5＝81，得a＝81，所以a3＝9. 因为S2，a3，a4－S3成等差数列，所以2a3＝S2＋a4－S3， 即3a3＝a4，所以q＝＝3，所以a1＝1，所以an＝3n－1. (2)选择①：因为b1＝，3bn＋1＝·bn(n∈N*) ， 所以＝·(n∈N*)，所以＝×， ＝×，＝×，…，＝×(n≥2)，所以××…×＝×(n≥2)， 所以bn＝·(n≥2)，当n＝1时该式也成立．故bn＝·(n∈N*) . 所以an·bn＝＝－， 所以Pn＝＋＋…＋＝1－＝. 因为{Pn}是递增的，所以Pn的最小值为P1＝. 选择②：由Tn＝n2(n∈N*)可知，当n＝1时，b1＝T1＝1， 当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，当 n＝1时b1也满足该式． 所以bn＝2n－1，所以an·bn＝(2n－1)·3n－1， 所以Pn＝1×1＋3×3＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1， 3Pn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n， 所以Pn＝(n－1)·3n＋1. 因为{Pn}是递增的，所以Pn的最小值为P1＝1. 选择③：6Tn－bn＝5(n∈N*)，所以6Tn－1－bn－1＝5(n≥2)，两式相减得6(Tn－Tn－1)－(bn－bn－1)＝0，即5bn＋bn－1＝0(n≥2)， 所以＝－(n≥2)．由6T1－b1＝5，得b1＝1. 所以数列{bn}是以1为首项，－为公比的等比数列，所以bn＝n－1，所以an·bn＝n－1， 所以Pn＝＝. 当n为奇数时，n<0，故Pn>. 当n为偶数时，n>0，故Pn<， 此时Pn＝是递增的， 所以当n＝2时，Pn取得最小值，为×＝. [课时验收评价]　　　　　“数列”大题规范增分练 1．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． 解：(1)证明：由已知条件，得Sn＝nan－＋. 当n＝1时，a1＝S1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－＋－， ∴(1－n)an＝－n＋1－(n－1)an－1. 等式两边同时除以1－n，得an＝1＋an－1， ∴an－an－1＝1. ∴数列{an}是公差为1的等差数列． (2)由(1)知数列{an}的公差为1. 由a＝a4a9，得(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)， 解得a1＝－12. 所以Sn＝－12n＋＝＝2－， 所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最小值，最小值为－78. 2．已知数列{an}的前n项和Sn满足3n2－29n－2Sn＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)已知数列{bn}的通项公式为bn＝2n，若由数列{an}与{bn}的公共项按从小到大排列得到数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)因为3n2－29n－2Sn＝0，所以Sn＝n2－n. 当n＝1时，a1＝－＝－13； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－(n－1)2＋(n－1)＝3n－16. 经检验，a1＝－13满足an＝3n－16， 故数列{an}的通项公式为an＝3n－16. (2)设bm＝an，即2m＝3n－16，m，n∈N*. 由bm＝2m，所以bm＋1＝2m＋1＝2·2m＝2(3n－16)＝6n－32＝3－