空间几何体的外接球和立体几何中范围和最值问题 综合练习-2023届高考数学二轮备考

空间几何体的外接球和立体几何中范围和最值问题 一、单选题 1．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”，平面，，的面积为4，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 3．点为球上的四面体，球的表面积是，已知，，平面平面，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形､若二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积大小为（    ） A． B． C． D． 6．如图，半径为4的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（    ） A． B． C． D． 7．已知两平行平面，之间的距离为1，平面，平面，平面，平面，，，则异面直线与所成的角的最大值和最小值为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，过点B作截面分别交侧棱AC，AD于E，F两点，且四面体ABEF的体积为四面体ABCD体积的，则EF的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．在三棱锥P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，，当阳马体积的最大值为时，堑堵的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 11．在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为(    ) A． B．4 C． D．8 12．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积是______． 14．已知正三棱柱的外接球表面积为，则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为______． 15．在三棱锥中，平面，，，，，则四面体的外接球的表面积为_____ 16．在三棱锥中，，，，记三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则__ 17．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，则球的表面积的最小值为________. 18．如图，在棱长为4的正方体中，M是棱上的动点，N是棱的中点.当平面与底面所成的锐二面角最小时，___________. 19．在四面体中，，，平面，，分别为线段，的中点，现将四面体以为轴旋转，则线段在平面内投影长度的取值范围是__________. 20．已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝，过BD1作平面α分别交棱AA1，CC1于E，F，则四边形BFD1E面积的最小值为________. 21．已知点M，N，P，Q在同一个球面上，，，，若四面体MNPQ体积的最大值为10，则这个球的表面积为______________. 22．如图，在正方体中，E为棱BC的中点，F为棱上的一点（不包含端点），且，过点A，E，F作该正方体的截面．若所得截面是五边形，则的取值范围是______． 参考答案： 1．C 如图，将四棱锥补成长方体，则该四棱锥的外接球与长方体的外接球相同. 因为长方体外接球的半径， 所以该“阳马”外接球的表面积为:. 2．C 设，因为， 所以，， 而，所以(于是是外接圆的半径)，，即， 如图，设分别是和的外接圆圆心，由直棱柱的性质知的中点是三棱柱的外接球球心， ， 所以外接球为. 于是球的表面积为. 3．D 由题，设的外接圆直径为，球的直径为，则，故.又因为平面平面，平面平面，且，故平面，故和的外接圆直径与球的直径满足勾股定理，即，即，.根据正弦定理，即，故，又，故，，又，故，故. 4．C 因为，，，则，所以， 又因为，，，则，所以， 由，，，则,所以， 又由，，，则，所以， 可得为三棱锥的外接球的直径， 又由， 所以此三棱锥的外接球半径为， 所以球的表面积为. 5．C 解：取的中点，连接， 因为， 所以， 所以，所以， 因此为二面角的平面角， 设，则， ，， 在中，由余