第08讲 分段函数求法（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第08讲 分段函数求法 1．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 考点一 分段函数求自变量 考点二 分段函数求函数值 考点三 分段函数求参数值或参数范围 考点一：分段函数求自变量 例1．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知函数，则方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段函数，对分类讨论即可. 【详解】当时，，解得或（舍去），当x<0时，，解得（舍去），故解集为． 故选：A． 例2．已知函数则方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑和两种情况，代入解方程得到答案. 【详解】当时，，故，解得或（舍去）； 当时，，故，解得或（舍去）. 综上所述：或. 故选：B 考点二：分段函数求函数值 例3．对于表示不超过的最大整数，定义在上的函数，若，则中所有元素的和为（    ） A．12 B．3 C．14 D．15 【答案】D 【分析】将表示为分段函数的形式，由此求得的元素，进而求得正确答案. 【详解】当，，； 当，，； 当，，； 当，，； 当时，，， 所以，所以中所有元素的和为. 故选：D 例4．已知函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．e 【答案】C 【分析】根据指数幂运算性质，结合代入法进行求解即可. 【详解】， 故选：C 例5．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知，则______. 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式计算可得； 【详解】， ． 故答案为：． 考点三：分段函数求参数值或参数范围 例6．已知，若，则（    ） A．5 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】根据题意将两部分范围确定，分别代入函数，即可解出的值，再代入求解即可. 【详解】解：根据题意， 当时函数在上单调递增，当时函数在上单调递增， 若， ，则必有，即， 则，即，则，解得或（舍去）， ， 故选：B. 例7．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的性质结合一次函数和对数函数的单调性，列出不等式组，即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意解得， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 例8．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知是偶函数，当时，，若，则（    ） A． B． C．或3 D．或 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义求解. 【详解】当时，由，得， 解得（舍去）或； 根据偶函数的图象关于y轴对称，可知当时， 由，得(舍)或， 综上， 故选:B. 一、单选题 1．德国数学家狄里克雷（Johann Peter Gustay Dejeune Dirichlet，1805—1859）在1837年时提出“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，都有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数.若，则x₀可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可知.检验或化简各项，即可得到答案. 【详解】根据函数的定义，知若，则. ，是个有理数.而其它选项都是无理数. 故选：C． 2．已知函数，若，则（    ） A． B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】由题意分类讨论，求解a，再根据分段函数求函数值. 【详解】当时，则，解得：或（舍去） 当时，则，解得：（舍去） 综上所述： ∴，则 故选：D. 3．（2023·河南·统考模拟预测）已知函数且，则（    ） A．-16 B．16 C．26 D．27 【答案】C 【分析】根据函数解析式，结合指数对数运算性质分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以， 故选：C 4．设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数则称函数为的“界函数”.若给定函数，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，然后逐个分析判断即可。 【详解】因为， 所以， 所以对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D正确， 故选：B 5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可. 【详解】根据题意，函数在时为单调递增，即，解得； 易知，二次函数是开口向上且关于对称的抛物线，所以为单调递增； 若满足函数在上单调递增， 则分段端点处的函数值需满