内切球专题训练-2023届高三数学二轮复习

1．正四面体的棱长为，则它的内切球与外接球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球与内切球的研究．其中的一些研究思想启发着后来者的研究方向．已知正四棱锥的外接球半烃为R，内切球半径为r，且两球球心重合，则（    ） A．2 B． C． D． 3．正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足，记四面体ABCD的内切球为球，四面体PBCD的外接球为球，则_________． 4．已知四边形ABCD为平行四边形，，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_________. 5．已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为__________. 6．在棱长为4的正方体中，点是棱上一点，且.过三点、、的平面截该正方体的内切球，所得截面圆面积的大小为______. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $一、单选题 1．正四面体的棱长为，则它的内切球与外接球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四面体的结构特征，求出内切球半径与外接球半径即可作答. 【详解】依题意，正四面体的内切球与外接球球心重合，记为，令正的中心为，连接， 显然点在上，令正四面体的内切球与外接球半径分别为，即， 而，则， 在中，，解得，， 所以它的内切球与外接球的表面积之比为. 故选：D 2．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球与内切球的研究．其中的一些研究思想启发着后来者的研究方向．已知正四棱锥的外接球半烃为R，内切球半径为r，且两球球心重合，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】正四棱锥的外接球和内接球球心重合，说明其结构特殊，找出结构的特殊性，再计算. 【详解】如图： 设底面正方形ABCD的对角线长为2a，高为h，，正方形的中心为O，外接球的球心为， 则有即，在 中， ① ，②， 以O为原点，建立空间直角坐标系如上图， 则有 ， ， 设平面PCD的一个法向量为 ，则有 ， ， 令 ，则 ， 设向量 与平面PCD的夹角为 ，则 ， 球心 到平面PCD的距离 ， ，由①得即③， 故设，则③可整理成 ，两边平方得 ， ， 由①②得 ； 故选：B. 二、填空题 3．正四面体ABCD的棱长为3，P在棱AB上，且满足，记四面体ABCD的内切球为球，四面体PBCD的外接球为球，则_________． 【答案】 【分析】设点为的中心，连接，并延长交于点，则平面，点为的中点，，四面体ABCD的内切球的球心在上， 且四面体PBCD的外接球的球心在上，利用等体积法求出四面体ABCD的内切球的半径为，即，记的中点为，根据求出，即可得出，即可得解. 【详解】如图，设点为的中心，则平面，连接，并延长交于点，则点为的中点，， 则四面体ABCD的内切球的球心在上， 且四面体PBCD的外接球的球心在上， 设四面体ABCD的内切球的半径为， ， 则， 又， 则，解得，即， 由四面体PBCD的外接球的球心在上，得， 记的中点为，则，， ，所以， 则，所以. 故答案为：. 【点睛】方法定睛：多面体与球切、接问题的求解方法 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解． (2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R＝a＋b＋c求解． (3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长． (4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长． (5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 4．已知四边形ABCD为平行四边形，，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_________. 【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理求得，由此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，利用长方体的性质求外接圆半径，再等体积法求出内切球半径，运算求解即可. 【详解】在中，， 故，即， 则折成的三棱锥中，，，， 即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线， 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c 则，解得， 此长方体的外接球是三棱锥的外接球，