外接球专题训练-2023届高三数学二轮复习

一、单选题 1．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 2．三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，是以AC为底边的等腰直角三角形，是等边三角形，，又BD与平面ADC所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 4．已知四棱锥的底面是矩形，高为，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 5．在正四棱台中，底面是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线与直线的交点为P，则四棱锥的外接球的体积为___________. 6．已知正四棱锥的体积为，若其各个顶点都在球表面上，则球表面积的最小值为______． 学科网（北京）股份有限公司 $一、单选题 1．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，确定，得到球半径，计算体积得到答案. 【详解】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，如图所示： 则，故，球的半径， 故体积为. 故选：D 2．三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可将三棱锥补形为长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，根据长方体的性质求外接球的半径，即可得结果. 【详解】如图所示，根据题意可将三棱锥补形为长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，可知该球的直径即为， 设球的半径为，可得，即， 故三棱锥的外接球的表面积. 故选：C. 3．在三棱锥中，是以AC为底边的等腰直角三角形，是等边三角形，，又BD与平面ADC所成角的正切值为，则三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面角算出点B到平面ADC的距离，从而找到球心的位置，利用几何关系算出球的半径即可. 【详解】取AC的中点E，连接BE，DE，则，，可得平面DEB． 又平面ADC，故平面平面DEB，且平面平面． 在平面DEB中，过点B作于点H，则平面ADC， ∴是直线BD与平面ADC所成角的平面角． 设，则，易求，，则． 由勾股定理可得，即，解得，于是， 点H恰好是正的中心（外心），故球心O必在BH上， 的外心为E，连接OE,则平面ABC，,设三棱锥外接球的半径， 在中，由射影定理可得，即，解得， ∴三棱锥外接球的表面积． 故选：B. 4．已知四棱锥的底面是矩形，高为，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，求出平面外接圆半径，再利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出球的体积. 【详解】如图，在矩形中，连接对角线，记，则点为矩形的外接圆圆心， 取的中点，连接，记的外接圆圆心为，易知，且共线. 因为，平面，所以平面， 所以平面，平面，，，平面， 所以平面，所以，所以，易得， 所以由正弦定理得的外接圆半径为，即. 过作平面，且，连接，由平面， 可知，则四边形为矩形，所以，则平面. 根据球的性质，可得点为四棱锥的外接球的球心. 因为，所以四棱锥的外接球的体积为. 故选：B 二、填空题 5．在正四棱台中，底面是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线与直线的交点为P，则四棱锥的外接球的体积为___________. 【答案】 【分析】先确定四棱锥为正四棱锥，则其外接球的球心O在直线上，由勾股定理可得半径，结合球的体积公式计算即可求解. 【详解】设与相交于点，因为四棱台为正四棱台， 直线与直线的交点为P，所以四棱锥为正四棱锥， 得平面，四棱锥的外接球的球心O在直线上，连接BO， 设该外接球的半径为R，由，， 所以，则， 即，解得， 则四棱锥外接球的体积为. 故答案为：. 6．已知正四棱锥的体积为，若其各个顶点都在球表面上，则球表面积的最小值为______． 【答案】 【分析】设正四棱锥的底面边长为a，高为h，球的半径为R，由正四棱锥的体积为 ，得到，再在中，利用 ，得到，然后利用导数法求得半径的最小值求解. 【详解】解：如图所示： 设正四棱锥的底面边长为a，高为h，球的半径为R， 由正四棱锥的体积为 ，得， 在 中，有 ，即 ， 即 ，化简得 ， 令 ，则 ， 令 ，得， 当 时， ， 在 上递减， 当 时， ， 在 上递增， 所以当 时， 取得最小值 ，此时 ， 所以外接球的表面积为， 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$