2022-2023学年九年级中考复习专题：四边形中折叠问题

四边形折叠问题 1．长方形纸片中，，，点E是边上一动点，连接，把∠B沿折叠，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，的长为______． 2．如图，已知长方形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，分别交于点，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)求的长． 3．如图，矩形中，，，将矩形绕点B顺时针旋转到矩形，连接，点C恰好在线段上，______． 4．如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到点的对应点为点，连接，延长交于点，则四边形为正方形，若，，则的长为____________． 例题1．如图，在正方形中，，是的中点，是延长线上的点，将沿折叠得到．连接并延长分别交、于、两点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 例题2．如图，已知矩形中，是边上一点，将沿折叠得到，连接． (1)如图1，落在直线上时，求证； (2)如图2，当时，与边相交时，在上取一点，使，与交于点， ①求的值； ②当是的中点时，若，求的长． 例题3如图，将边长为4的正方形纸片折叠，使点落在边上的点处（不与点C、D重合），连接，折痕分别交、、于点、、，边折叠后交边于点． (1)求证： (2)若，求的长； (3)若点是边上的动点，四边形的面积是否存在最值？若存在，求出这个最值；若不存在，说明理由． 练习1．（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．求证：； （2）类比探究：如图（2），在矩形中，（k为常数）．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，求AB、的长． 例题4．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF． （1）求证：四边形PBFE为菱形； （2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长； ②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为 ；最小值为 ． 练习．如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝6，BC＝2，点M、N分别在边AB、CD上，CN＝1.现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B、C分别落在点B'、C'上，在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E， (1)当点B′恰好落在边CD上时，求线段BM的长； (2)运动过程中，△EMN的面积有没有最小值，若有，求此时线段BM的长，若无，请说明理由； (3)求点E相应运动的路径长． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $