2023年中考复习压轴题之二次函数解题通法研究第一讲与线段有关的问题

二次函数解题通法研究 第一讲：与线段有关的问题 考向一 线段数量关系 【方法解读】 1．线段长度的表示： (1)当线段为竖直线时，线段的长度为线段上端点与下端点纵坐标的差； (2)当线段为水平线时，线段的长度为线段右端点与左端点横坐标的差； (3)当线段为斜线段时，利用两点间距离公式表示线段长，如点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，则AB＝． 2．求解线段数量关系问题： (1)两条线段在同一条直线上： ①线段与坐标轴平行：先表示出两条线段的长，再根据线段数量关系列方程求解； ②斜线段：先表示出两条线段的长，再根据线段数量关系列方程求解；或先以两条线段为斜边构造两边与坐标轴平行的三角形，再利用锐角三角函数或相似将线段数量关系进行转化； (2)两条线段不在同一条直线上： ①若两条线段的长可直接表示，则表示出两条线段的长，再利用线段数量关系列方程求解； ②若两条线段的长无法直接表示，则可通过找相似或等角，利用相似或锐角三角函数将其转化为可直接表示的两条线段的数量关系，再求解． 方法突破练 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(0，4)，求线段AB的长度． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋3经过A，B两点，点A的横坐标为－2，点B的横坐标为1，求线段AB的长度． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋3经过A，B两点，点A的横坐标为－2，点B的横坐标为1，点C是线段AB上一点，当＝时，求点C的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l：y＝－x＋b经过点A(3，1)，点B是直线l上一动点，设点B的横坐标为m，若AB＝OA，求m的值． 5．如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，点P为直线AB上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点H，当PH＝2HQ时，求点P的坐标． 6．如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作直线BC的垂线于点M，若线段PM＝OB，求点P的横坐标． 经典例题讲解： 例1．如图，抛物线y＝－x2＋x＋3与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)设点D是y轴上一点，若BD＝CD，求点D的坐标； 思路点拨：设点D(0，m)，可表示出线段BD和CD的长，根据BD＝CD列出等量关系式即可求解； (2)设点E是直线BC上一点，当CE＝BE时，求点E的坐标； 思路点拨：过点E作x轴的垂线交x轴于点H，由中位线定理确定点H的坐标，代入直线解析式即可确定点E的坐标； 【百变解法】利用线段相等列方程也可求解； (3)设点F是x轴上一点，当＝时，求点F的坐标； 思路点拨：设点F(t，0)，表示出线段CF和BF的长，根据＝列出等量关系式即可求解； (4)若点Q是直线BC上方抛物线上一点，过点Q作QQ′∥y轴交直线BC于点Q′，延长QQ′交x轴于点Z，当点Q′为线段QZ的三等分点时，求点Q的坐标． 思路点拨：设出点Q的坐标，表示出Q′Z，QZ的长，分两种情况讨论：Q′Z＝QZ或Q′Z＝QZ，通过等量关系式，即可求出点Q的坐标． 能力综合训练： 1.如图，抛物线yx2+bx+c过点A（4，0），B（﹣4，﹣4），与y轴交于点C，连接AB，BC，AC．点E是线段AB上的一个动点（不与点A，B重合），过点E作y轴的平行线，分别交抛物线及x轴于F，D两点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当点D是OA的中点时，求线段EF的长； （3）若DE＝2DF，请求出点E的坐标． 2.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．与y轴交于点C．且OB＝OC．点P为抛物线y＝ax2+bx+c上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）当DEPD时，求此时点P的坐标； （3）第一象限抛物线上是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考向二 利用二次函数性质求线段最值 【方法解读】 1．竖直线的最值问题： 设出点坐标，表示出线段的长，利用二次函数性质求解． 2．斜线段的最值问题： 看到斜线段，首先想到构造三角形将斜线段转化为竖直线段求解．如过线段的端点作平行于y轴的线段构造三角形，具体方法如下： 方法一：可通过构造的三角形与某三角形相似，将斜线段转化为竖直线段； 方法二：利用平行线性质将所构造三角形中的角进行转化，利用锐角三角函数将斜线段转化为竖直线段； 方法三：若构造后的三角形含特殊角，则直接利用直角三角形的边角关系将斜线段转化为竖直线段． 3．求线段比值