2023年中考复习压轴题之二次函数解题通法研究第二讲面积最大值问题

二次函数解题通法研究 第二讲：与面积有关的问题 考向一 求面积最值 【方法解读】 1．面积表示： (1)分割法：S△ABC＝S△ABP＋S△BCD＝BP·(AD＋CE)＝BP·|xC－xA|． 关键：找水平宽、铅垂高 (2)补全法：S△ABC＝S四形边AMNC－(S△AMB＋S△BNC)． (3)和差法：S△PBA＝S△OAP＋S△OBP－S△OBA． 2．求面积最值： (1)利用二次函数性质求最值： 设动点P的横坐标为m，用含m的代数式表示出三角形的面积，利用二次函数性质求解； (2)定底平行线法： 分析：设过点P且与BC平行的x直线l与直线BC的距离为h，则h即为点P到BC的距离，则S△PBC＝BC·h，由BC为定值，可知当h最大，即直线l与抛物线只有一个交点时，△PBC的面积最大． 结论：如图，平移直线BC使其与抛物线只有一个交点P时，△PBC的面积最大． 方法突破练 1．如图，在平面直角坐标系中，点A(2，3)，B(5，3)，C(－1，1)，则△ABC的面积是____． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，1)，B(－2，3)，C(2，2)，则△ABC的面积是____． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A(1，3)，B(3，0)，C(5，4)，求△ABC的面积． 【解法一】 【解法二】 4．如图，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点，与y轴交于点C．点P为抛物线第二象限上一动点，连接PB，PC，BC，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【解法一】 【解法二】 【解法三】 经典例题讲解： 如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC． （1）如图①，若点P是直线BC下方抛物线上一点，连接AC，BP，CP，求四边形ACPB面积的最大值； （2）如图②，若点D为抛物线顶点，连接BD，点M是BD上一动点，过点M作y轴的平行线交BC于点E，连接DE，求△MDE面积的最大值及此时点M的坐标； （3 ）如图③，将△AOC沿x轴向右平移m个单位（0＜m≤1），得到△A′O′C′，设△A′O′C′与△OBC重叠部分图形的面积为S，求S的最大值． 解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）， ∴BC所在直线的解析式为：y＝x﹣3， 如图①， 过点P作y轴的平行线交BC于点F， ∴S四边形ACPB＝S△BCP+S△ABCFP•OBAB•OCFP+6， ∴当FP最大时，S四边形ACPB最大， 设P（p，p2﹣2p﹣3）（0＜p＜3）， 则F（p，p﹣3）， ∴FP＝p﹣3﹣（p2﹣2p﹣3）＝﹣p2+3p＝﹣（p）2， ∵﹣1＜0，0＜p＜3， ∴当p时，FP有最大值，最大值为， ∴四边形ACPB面积的最大值为6； （2）设平移后新抛物线的解析式为：y＝x2+bx+c， ∴顶点坐标为：（）， 当x＝0时，y＝c， ∴M（0，c）， 将（）代入y＝﹣x﹣3，解得c， ∵点M在y轴负半轴上， ∴OM＝﹣c， ∵原抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴D（1，﹣4）． 如图②， 过点D作DG⊥y轴于点G，则DG＝1， ∴S△DOMOM•DG（）×1（b+1）2， ∴当b＝﹣1时，c＜0，△DOM的面积有最大值，最大值为， OM＝﹣c； （3）如图③， 设A′C′交y轴于点Q，交BC于点G，O′C′交BC于点K，过点G作GH⊥y轴于点H，延长HG交O′C′于点N． 设CH＝n， ∵C（0，﹣3），B（3，0）， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠HGC＝∠OCG＝45°． ∴HC＝CH＝n，∠O′KB＝∠O′BK＝45°． ∴O′B＝O′K， ∵OB＝O′C′， ∴KC′＝OO′＝HN＝m， ∵A′C′是由AC平移得来的， ∴A′C′∥AC， ∴∠A′QO＝∠ACO＝∠GQH， ∵∠AOC＝∠QHG＝90°， ∴△ACO∽△A′QO∽△GQH， ∴OA：OC＝OA′：OQ＝HG：HQ，即1：3＝（1﹣m）：OQ＝n：HQ， ∴OQ＝3（1﹣m），HQ＝3m， ∵OQ+HQ+CH＝OC， ∴3（1﹣m）+3n+n＝3， ∴nm， ∴GN＝mmm， ∴S＝S△O′A′C′﹣S△OA′Q﹣S△KC′G m2+3m （m）2， ∵0，0＜m≤1， ∴当m时，S有最大值，最大值为． 综合训练： 1.（2023•东营区一模改编）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A（1，0）和B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），直线y＝﹣2x+m经过点A，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M在AE下方的抛物线上运动，求△AME的