山东省青岛第二中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

青岛二中2022—2023学年第二学期期中考试高一试题（数学） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A B. C. 1 D. 2 2. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 3. 给出下列命题中，正确的命题是（ ） A. 底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 B. 侧棱都相等的棱锥是正棱锥 C. 底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 D. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 4. 若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）. A. B. C. D. 5. 如图正方形OABC边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少cm？（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，在费马问题中所求的点被称为费马点，对于每个给定的三角形都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得的点为的费马点.已知点为等边的费马点，且，则（ ） A. -12 B. -36 C. D. -18 8. 正方体的棱长为，点在三棱锥的侧面表面上运动，且，则点轨迹的长度是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 如图，三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形，是中点，则下列叙述不正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. 平面 C. ，为异面直线，且 D. 平面 10. 已知函数的部分图像如图，则（ ） A. B. C. 将曲线向右平移个单位长度得到曲线 D. 点为曲线的一个对称中心 11. 给出下列命题，其中正确的选项有（ ） A. 非零向量，，满足且与同向，则 B. 若单位向量，的夹角为60°，则当取最小值时， C. 在中，若，则为等腰三角形 D. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 12. 的内角，，的对边分别为，，，则下列命题正确的有（ ） A 若，则 B. 若，，，则有一解 C. 已知的外接圆的圆心为，，，为上一点，且有， D. 若为斜三角形，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若，则的虚部是______． 14. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角，，所对的边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为.若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为______． 15. 如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.现选择与山脚在同一平面的点为观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及，若米，米，则等于__________米. 16. 如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知，，与的夹角为． （1）求； （2）当为何值时，． 18. 在中，，，分别是角，，所对边的长，，且． （1）求的面积； （2）若，求角． 19. 如图甲，在四边形中，，．现将沿折起得图乙，点是的中点，点是的中点． （1）求证：平面； （2）在图乙中，过直线作一平面，与平面平行，且分别交、于点、，注明、位置，并证明． 20. （1）已知函数，若，求； （2）已知，，，，求值． 21. 如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点． （1）证明：面； （2）若满足面，求的值． 22. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，． （1）当时，求四边形的面积； （2）求灯柱高（用表示）； （3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值． 青岛二中2022—2023学年第二学期期中考试高一试题（数学） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【