专题05 四边形中的证明与计算问题-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题05：四边形中的证明与计算问题 目录 一、热点题型归纳 【题型一】 应用四边形的性质证明及计算 【题型二】 中点四边形 【题型三】 十字架模型 【题型四】 对角互补模型 【题型五】 梯子模型 【题型六】 与正方形有关的三垂直问题 【题型七】 与正方形有关的半角模型 二、最新模考题组练 【题型一】 应用四边形的性质证明及计算 【典例分析】 1.如图，在平行四边形中，平分，平分． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，四边形是矩形？请写出证明过程． 【提分秘籍】 掌握好平行四边形和特殊平行四边形的概念和基础性质，灵活应用是关键。 【变式演练】 1．如图，中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作，交DE的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论． 2．如图，菱形的对角线、相交于点，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并写出证明过程． 3．如图，矩形中为边上一点，将沿AE翻折后，点B恰好落在对角线的中点F上． （1）证明：； （2）若，求折痕的长度 4．如图，在正方形中，对角线，相交于点，点，是对角线上的两点，且．连接，，，． （1）证明：△ADE≌△CBF． （2）若，，求四边形的周长． 【题型二】 中点四边形 【典例分析】 1.四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 【提分秘籍】 结论一：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形。 结论二：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 结论三：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。 结论四：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形。 结论五：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形。 结论六：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形。 速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正，任意四边为平行。 【变式演练】 1．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，中点四边形EFGH是 　 　． （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想． （3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）． 【提分秘籍】 【结论1】 正方形 ABCD 中，EF⊥GH ⇔ EF = GH 【结论 2】 在矩形 ABCD 中，EF⇔GH EF: GH=AD:AB 【变式演练】 1.【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、BC上，且AE⊥DF，求证：AE＝DF． 【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在边AD上，点M、N分别在边AB、CD上，且BE⊥MN，求的值． 【拓展应用】如图3，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F分别在边AD、BC上，点M、N分别在边AB、CD上，当∠EFC与∠MNC的度数之间满足什么数量关系时，有试写出其数量关系，并说明理由． 2.如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E． （1）求证：AP⊥BQ； （2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度． 【题型四】 对角互补模型 【典例分析】 1.已知，求证：，． 【提分秘籍】 四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC，则有： ①AD = CD ②AB+BC=BD ③S△ABD+S△BDC=BD2 已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC 平分∠AOB，则有 ①CD=C