专题04 三角形中的证明与计算问题-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题04：三角形中的证明与计算问题 目录 一、热点题型归纳 【题型一】 三角形中的角度计算中的五个常考模型 【题型二】 三角形全等中的六个常考模型 【题型三】 相似三角形中的四个常考模型 【题型四】 射影定理 【题型五】 勾股定理中的常考题型 二、最新模考题组练 【题型一】 三角形中的角度计算中的五个常考模型 【典例分析】 1.如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【提分秘籍】 五个常见模型 8字模型： 结论: ∠A+∠B=∠D+∠C. A 字模型： 结论： ∠1+∠ 2=∠A+180° 飞镖模型： 结论： ∠C=∠A+∠B+∠D 双内角平分线模型：结论： 双外角平分线模型：结论： 一内一外角平分线模型：结论： 老鹰抓小鸡模型（1）：结论： 老鹰抓小鸡模型（2）：结论： 【变式演练】 1.一个零件的形状如图，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，检验工人量得∠CDB＝148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由． 2.如图，把△ABC纸片任意折叠，使点A落在纸外，设折痕为DE，∠A、∠1、∠2之间有一种始终保持不变的数量关系，请写出这种数量关系，并说明理由． 3.在△ABC中，∠A＝40°： （1）如图（1）BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC； （2）如图（2）BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC； （3）如图（3）BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC； （4）根据上述三问的结果，当∠A＝n时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系（只需写出结论）． 【题型二】 三角形全等中的六个常考模型 【典例分析】 1.直线l经过点A，△ABC在直线l上方，AB＝AC． （1）如图1，∠BAC＝90°，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：△ABD≌△CAE； （2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明； （3）如图3，∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动点，连结AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点． 【提分秘籍】 六个全等模型 手拉手模型 倍长中线模型 平行线中等模型 雨伞模型 【变式演练】 1.如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N． 求证： （1）AD＝BE； （2）∠BMC＝∠ANC； （3）△CMN是等边三角形． 2.如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形， 求证：△AMN的周长等于2． 3.已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE． 求证：AB＝CD． 4.如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC＝10，点E是CD的中点，求AE的长． 5.如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB，已知CB＝CD，AC平分∠BAD；求证： （1）∠B+∠ADC＝180°； （2）AD+AB＝2AE． 【题型三】 相似三角形中的四个常考模型 【典例分析】 1.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，，AC＝3，求AD的长． 【提分秘籍】 8字模型 反8字模型 手拉手模型 一线三等角模型 【变式演练】 1.如图，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于点E，EF：AB＝2：3． （1）若CE＝4，求AE的长； （2）若CD＝6，求AB的长； （3）若四边形ABFE的面积为8，直接写出△CEF的面积． 2.如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD． （1）求证：△ABC∽△DEC； （2）若AC：DC＝2：3，BC＝6，求EC的长． 3.如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，有∠ADE＝45°． （1）证明：△BDA∽△CED． （2）若BC＝6，当AE＝ED时，求BD的长． 【题型四】 射影定理 【典例分析】 1.如图在Rt△ABC中∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则①图中有几个直角三角形