专题21 圆的求值与证明类必考的解答题精练-2023年中考数学以三种题型出现必考压轴题27个小微专题精练

2023年中考数学以三种题型出现必考（难点）压轴题27个小微专题精炼 专题21 圆的求值与证明类必考的解答题精炼 1. 如图，⊙中，直径与弦相交于点，连接、． （1）求证：； （2）连接，若，，求⊙的半径． 2. 已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于点F，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点G是上一点，连接，若，，求的长． 3. 如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，C是弧AM上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）在点C运动过程中，当时，求的值． 4. 如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 5. 如图，在中，，以为直径的⊙交于点，交线段的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求． 6. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 7. 已知为的直径，，C为上一点，连接． （1）如图①，若C为的中点，求的大小和的长； （2）如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长． 8. 如图，是⊙的直径，是⊙的切线，、是⊙的弦，且，垂足为E，连接并延长，交于点P． （1）求证：； （2）若⊙的半径，求线段的长． 9. 如图，已知是的直径，于，是上的一点，交于，，连接交于． （1）求证：CD是的切线； （2）若，，求、的长． 10. 如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点． （1）求证：； （2）若，，求及的长． 11. 如图，为弦，交于点，交过点的直线于点，且． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 12. 如图所示，的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，连接、，已知． （1）求证：直线是⊙的切线； （2）若线段与线段相交于点，连接． ①求证：； ②若，求⊙的半径的长度． 13. 如图，已知是外接圆的直径，．点D为外的一点，．点E为中点，弦过点E．．连接． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）当时，求弦的长． 14. 如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年中考数学以三种题型出现必考（难点）压轴题27个小微专题精炼 专题21 圆的求值与证明类必考的解答题精炼 1. 如图，⊙中，直径与弦相交于点，连接、． （1）求证：； （2）连接，若，，求⊙的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）⊙的半径为3 【解析】【分析】（1）利用，同弧所对的圆周角相等，得到，再结合对顶角相等，即可证明； （2）利用，得到，根据直径所对的圆周角是直角得到，再利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得⊙的半径． 【详解】（1）证明：在⊙中， ∵， ∴， 又∵, ∴． （2）解：∵， 由（1）可知，， ∵直径， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， 即⊙的半径为3． 【点睛】本题考查圆的基本知识，相似三角形的判定，以及含角的直角三角形．主要涉及的知识点有同弧所对的圆周角相等；两个角对应相等的两个三角形相似；直径所对的圆周角是直角；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半． 2. 已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，延长交于点F，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点G是上一点，连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】【分析】（1）根据SAS证明即可得到结论； （2）证明即可得出结论； （3）先证明，连接，证明，设，，在上取点M，使得，连接，证明为等边三角形，得，根据可求出，得，，过点H作于点N，求出，再证，根据可得结论． 【详解】（1）如图1．∵点D，点E分别是半径的中点 ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∴； （2）如图2．∵， ∴ 由（1）得， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ （3）如图3．∵， ∴ ∴ 连接．∵ ∴， ∴， ∵ 设， ∴ 在上取点M，使得，连接 ∵， ∴ ∴， ∴为等边三角形 ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， 过点H作于点N ， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性