第04讲 基本不等式（精讲）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第04讲 基本不等式（精讲） 题型目录一览 ①直接法求最值 ②常规凑配法求最值 ③消参法求最值 ④“1”的代换求最值 ⑤基本不等式及其应用 ⑥利用基本不等式解决实际问题 ⑦利用基本不等式证明 一、知识点梳理 1.基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 注：（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意等号取得一致. （1）几个重要的不等式 ① ②基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （2）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立. 二、题型分类精讲 题型一 直接法求最值 策略方法 直接利用基本不等式求解，注意取等条件 【典例1】下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型训练】 一、单选题 1．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·全国·统考高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 3．（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2022秋·安徽合肥·高三校考期中）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以直接完成的无字证明为（     ） A． B． C． D． 5．（2023·陕西宝鸡·统考二模）设a，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 6．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知正数，满足，则的最大值为__________． 7．（2023·高三课时练习）已知，有下列不等式： ①；②；③；④；⑤． 其中，恒成立的是______．（写出所有满足要求的不等式序号） 题型二 常规凑配法求最值 策略方法 1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件． 【典例1】若，则取最大值时x的值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知实数x满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 【典例3】当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【题型训练】 一、单选题 1．（江西省赣州市十六县市二十校2023届高三上学期期中联考数学（理）试题）已知正数，满足，则的最大值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．已知，则函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 3．已知，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 4．函数的最小值是（    ） A．10 B．12 C．13 D．14 5．（广东省湛江市2023届高三二模数学试题）当，时，恒成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试（五）数学（文）试题）若，则的最小值为__________． 7．（第06讲基本不等式及应用-备战2023年高考数学一轮复习考点帮（新高考专用）【学科网名师堂】）（1）已知，则取得最大值时的值为________． （2）已知，则的最大值为________． （3）函数的最小值为________． 8．（2021·天津·统考高考真题）若，则的最小值为____________． 9．（2020·天津·统考高考真题）已知，且，则的最小值为_______