专题06 全等三角形证明方法：手拉手模型【考点串讲+热点题型专训】-2022-2023学年七年级数学下学期期中期末考点大串讲（北师大版）

专题06 全等三角形证明方法——手拉手模型 基本模型： （1）条件：如图，和均为等边三角形 结论：①；②（“八字型”模型证明）；③平分（全等三角形的性质+角平分线的判定）. （2）条件：如图，和均为等边三角形，A、C、E三点共线， 结论：①；②；③；④为等边三角形（）；⑤；⑥（）；⑦平分；⑧（在上截取，证）⑨（在上截取，证）. （3）条件：如图，和均为等腰直角三角形 结论：①；②；③. （4）条件：如图，四边形和均为正方形 结论：①；②；③. 例题精讲： 例1．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 　 　； ②线段、之间的数量关系为 　 　； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 例2．与均为等腰直角三角形，． （1）如图1，当D，B，C在同一直线时，的延长线与交于点F．求证：； （2）当与的位置如图2时，的延长线与交于点F，猜想的大小并证明你的结论； （3）如图3，当A，E，D在同一直线时（A，D在点E的异侧），与交于点G，，求证：． 例3．如图1，在中，，，直线过点A且，点D是直线 上一点，不与点A重合． （1）若点E是图1中线段上一点，且，请判断线段与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，过点D作交线段于点P，请判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接，过点D作交线段的延长线于点P，请判断线段与的数量关系，并说明理由． 专练过关： 1．如图，在和中，，，若． （1）求证：． （2）求的度数． 2．如图所示，是一个等腰直角三角形，其中．D是斜边上一点，连接线段，并 逆时针旋转至E，连接线段． （1）证明：． （2）判断的形状． 3．如图1，在中，，，于点D，，将绕 点D顺时针旋转，它的两边分别交、于点E、F. （1）求证：； （2）如图2，若，连接、，求证：． 4．阅读与理解：如图1，等边按如图所示方式设置． 操作与证明： （1）操作：固定等边，将绕点B按逆时针方向旋转，连接，，如图2；在图2中，请直接写出线段与之间具有怎样的大小关系． （2）操作：若将图1中的，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度，连接，，与相交于点M，连，如图3；在图3中线段与之间具有怎样的大小关系？的度数是多少？证明你的结论． 猜想与发现： （3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，的度数大小是否会随着变化而变化？请证明你的结论． 5．（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． 填空：的度数为 　 　；线段与之间的数量关系是 　 　． （3）拓展探究 如图3，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由． 6．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作， 使，，连接． （1）如图1，当点D在线段上时，， ①求证：； ②　 　； （2）设，， ①如图2，当点D在线段上移动，求证； ②当点D在射线的反向延长线上移动，则、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 全等三角形证明方法——手拉手模型 基本模型： （1）条件：如图，和均为等边三角形 结论：①；②（“八字型”模型证明）；③平分（全等三角形的性质+角平分线的判定）. （2）条件：如图，和均为等边三角形，A、C、E三点共线， 结论：①；②；③；④为等边三角形（）；⑤；⑥（）；⑦平分；⑧（在上截取，证）⑨（在上截取，证）. （3）条件：如图，和均为等腰直角三角形 结论：①；②；③. （4）条件：如图，四边形和均为正方形 结论：①；②；③. 例题精讲： 例1．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 　 　； ②线段、之间的数量关系为 　 　； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3） 【详解】