2-4 函数性质的综合运用 (精讲精练，培优课）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

2.4 函数性质的综合应用（培优课） 2.4 函数性质的综合应用（培优课） 1 一、分类题型 1 题型一 函数的单调性与奇偶性 2 题型二 函数的奇偶性与周期性 9 题型三 函数的奇偶性与对称性 14 题型四 函数的周期性与对称性 22 一、分类题型 题型一 函数的单调性与奇偶性 【例题精析1】 （2023·江西宜春·统考一模）已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区间上所有零点之和为__________. 【解答】由是定义在R上的奇函数，所以，又， 所以，则的周期是2， 且得是其中一条对称轴， 又时，于是图象如图所示， 又函数零点，即为与的交点的横坐标， 由图知：交点关于对称，每个周期都有2个交点， 所以、各有个周期，故各有个交点，它们两两关于对称， 所以零点之和为. 故答案为： 【例题精析2】 （2023·上海松江·统考二模）已知函数为上的奇函数；且，当时，，则______． 【解答】因为，为上的奇函数， 所以，所以为周期为2的周期函数， 因为当时,, 则， 令,得,,又因为为奇函数，则， 所以，则，则， 所以，所以， 故答案为：. 【例题精析3】 （2023·云南·高三校联考阶段练习）定义在R上的偶函数满足，当时，，___． 【解答】因为是偶函数，所以， 则，所以函数的周期为， 所以. 故答案为： 【例题精析4】 （2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）定义在上的奇函数满足，则______． 【解答】由得，所以的最小正周期为2，令，则 ，故． 故答案为：0 【例题精析5】 （2023·全国·高三专题练习）设是定义域为R的奇函数，且．若，则__________． 【解答】因为是定义域为R的奇函数， 则， 所以， 所以是周期为4的函数，则. 故答案为：3. 【例题精析6】 （2023·甘肃兰州·校考模拟预测）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则_____________． 【解答】因为为奇函数，则， 令，则，故，则， 令，则， 又因为为偶函数，则， 令，则， 令，则 因为，即，所以， 联立，解得，所以当时，. 又因为，即， 则，所以函数是以4为周期的函数， 故.故答案为：. 【例题精析7】 （2023·山东泰安·统考一模）设是定义域为R的偶函数，且.若，则的值是___________. 【解答】因为是定义域为的偶函数，所以； 又，所以， 所以是周期为2的函数，则.故答案为：. (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)． (2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小． 【对点精练1】 已知定义在R上的函数满足，，且，则（    ） A．2023 B．－2023 C．4046 D．－4046 【解答】因为，所以为奇函数，即， 又因为，所以，即，所以，所以函数的周期为， 因为，则， 故选：B. 【对点精练2】 （2023·河南郑州·统考一模）定义在R上的函数满足，①对于互不相等的任意，都有，且当时，，②对任意恒成立，③的图象关于直线对称，则､､的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解答】因为的图象关于直线对称，则函数关于轴对称， 所以函数为上的偶函数， 又因为对任意恒成立，则函数的周期为4， 又因为对于互不相等的任意，都有， 且当时，，所以对任意，则， 故有，所以函数在上单调递增， 则有，，，因为函数在上单调递增， 则，即， 故选：B. 【对点精练3】 已知定义在R上的函数满足，且函数是偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【解答】因为函数是偶函数，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以函数的周期为4， 所以， 因为，所以. 故选：C. 【对点精练4】 （2023·安徽宣城·统考二模）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若为奇函数，为偶函数，且，，则（    ） A．670 B．672 C．674 D．676 【解答】∵为奇函数， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴，① 又∵为偶函数， ∴，② ∴将②中换成得：，③ ∴将③中换成得：，④ 由①④得：， ∴的一个周期为3， ∴， 将代入③得：， ∴ 又∵， ∴. 故选：D. 【对点精练5】 （2023·全国·高三专题练习）定义在R上的不恒为零的偶函数满足，且．则（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 【解答】当，时，可化为， 令，则，， 所以，则，， ，则， ，则， ，则， 因为， 当时,,即 所以，则， 则， 所以， 所以， 故选：D. 【对点精练6】 （2021·陕西渭南·统考三模）已知符号函数偶函数满足