2-3 函数的奇偶性、周期性与对称性(精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

2-3 函数的奇偶性、周期性和对称性 1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用． 2.3 函数的奇偶性、周期性和对称性 1 一、主干知识 1 考点1：函数的奇偶性 2 考点2：周期性 2 考点3：对称性 2 【常用结论归纳】 2 二、分类题型 4 题型一 函数的奇偶性 4 命题点1　判断函数的奇偶性 4 命题点2　函数奇偶性的应用 6 题型二 函数的周期性 9 题型三 函数的对称性 12 三、课堂总结：知识图谱 15 四、分层训练：课堂知识巩固 16 一、主干知识 考点1：函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 考点2：周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 考点3：对称性 函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 【常用结论归纳】 1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)． 3．函数对称性常用结论 (1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝对称． (3)f(2a－x)＝－f(x)＋2b⇔f(x)的图象关于点(a，b)对称． 二、分类题型 题型一 函数的奇偶性 命题点1　判断函数的奇偶性 【例题精析1】 （2023·新疆·校联考二模）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【解答】由题知，则定义域为， ∵， 即，所以在上为奇函数， 故图象关于原点对称，排除A、C， 又∵当时，，排除D， 故选：B． 【例题精析2】 （2023·重庆·统考模拟预测）函数的部分图象是（    ） A． B． C． D． 【解答】函数得定义域为，则，故该函数为奇函数，故可排除B选项； 又，故可排除C选项； 又，，可以排除D选项. 故符合的函数图象为A. 故选：A. 【例题精析3】 （2023·浙江台州·统考二模）已知函数同时满足性质:①;②当时,,则函数可能为(    ) A． B． C． D． 【解答】①说明为偶函数，②,说明函数在上单调递减. A不满足②，B不满足①， C不满足②,因为在单调递减，在单调递增. 对于D,满足①,当,单调递减,也满足②. 故选：D. 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 命题点2　函数奇偶性的应用 【例题精析4】 （2023·全国·高三专题练习）函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解答】因为函数是奇函数，且在上单调递增， 所以函数在上也单调递增， 又因为，所以， 不等式等价于或， 所以或，故选：B. 【例题精析5】 （2023·上海金山·统考二模）已知是定义域为的奇函数，当时，，则__________. 【解答】因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 故答案为：. (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值． (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题． 【对点精练1】 （2023·福建·统考模拟预测）函数的图象大数为（    ） A． B． C． D． 【解答】由题意可知，函数的定义域为. 又， 所以，函数为奇函数. 当时，， 则.