2-2 函数的单调性与最值 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

2.2 函数的单调性与最值 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义. 2.掌握函数单调性的简单应用． 2.2 函数的单调性与最值 1 一、主干知识 1 考点1：函数的单调性 2 考点2：函数的最值 2 二、分类题型 3 题型一 确定函数的单调性 4 命题点1　求具体函数的单调区间 4 命题点2　判断或证明函数的单调性 4 题型二 函数单调性的应用 5 命题点1　比较函数值的大小 5 命题点2　求函数的最值 6 命题点3　解不等式 7 命题点4　求参数的取值范围 7 三、课堂总结：知识图谱 10 四、分层训练：课堂知识巩固 11 一、主干知识 考点1：函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 考点2：函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I， 都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I， 使得f(x0)＝M (1)∀x∈I， 都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I， 使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得． 【解题方法点拨】 ①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8； ②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2； ③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较． 【常用结论】 1．∀x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减． 二、分类题型 题型一 确定函数的单调性 命题点1　求具体函数的单调区间 【例题精析1】 （2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为__________． 【解答】当时，，则其在上递减，当时，，则，当时，，所以在上递减， 综上，的单调递减区间为，故答案为： 【例题精析2】 （2023·全国·高三专题练习）函数f(x)=lg(-)的单调增区间____________. 【解答】令t=-＞0，求得0＜x＜2，故函数的定义域为{x|0＜x＜2}， 根据y=g（t）=lgt，本题即求函数t在定义域内的增区间， 再利用二次函数的性质求得函数t在定义域内的增区间为，故答案为：． 命题点2　判断或证明函数的单调性 【例题精析3】 已知函数． （）判断并证明函数在的单调性． 【解答】（1）函数在上单调递增.证明如下： 任取，且， 因为， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法． 【对点精练1】 下列函数中，定义域为，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【解答】A选项，的定义域为，故排除A.B选项，的定义域为，故排除B.C选项，的定义域为，在上有增有减，故排除C. D选项，的定义域为，令，在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增.故选：D 【对点精练2】 （2022·上海·高一专题练习）函数的单调递增区间为___________． 【解答】因为，所以所以函数的定义域为， 设，所以在上单调递减，在上单调递增， 而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为.故填：． 题型二 函数单调性的应用 命题点1　比较函数值的大小 【例题精析4】 （2023·安徽黄山·统考二模）已知满足 ，则（    ） A