2-1 函数及其表示 (精讲精练）-【三维备考】2024年高考数学大一轮复习高频考点与题型分类（新高考专用）

2-1 函数的概念及其表示 1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域. 2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数，并会简单的应用． 2-1 函数的概念及其表示 1 一、主干知识 2 考点1：函数的概念 2 考点2：函数的三要素 2 考点3：函数定义域及其求法 2 考点4：函数值域及其求法 2 考点5：函数的表示法 3 考点6：函数解析式的求解及常用方法 3 考点7：分段函数 3 【常用结论归纳】 4 二、分类题型 5 题型一 函数的定义域 5 命题点1　具体函数的定义域 5 命题点2　抽象函数的定义域 5 命题点3　复合函数的定义域 6 命题点4　已知函数的定义域求参数 7 题型二 函数的解析式 9 题型三 分段函数 11 三、课堂总结：知识图谱 16 四、分层训练：课堂知识巩固 17 一、主干知识 考点1：函数的概念 一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数.记作：，.集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为. 考点2：函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 考点3：函数定义域及其求法 函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围． 求解函数定义域的常规方法： ①分母不等于零； ②根式（开偶次方）被开方式≥0； ③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1； ④三角函数中的正切的定义域是且； ⑤已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域； ⑥指数为零时，底数不为零； ⑦实际问题中函数的定义域。 考点4：函数值域及其求法 函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域． （1）求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域． （2）函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目． 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力． 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强． （3）运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力． 考点5：函数的表示法 1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法． 2、图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系．即图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫作图象法． 3、解析法：用解析式把把x与y的对应关系表述出来，y＝f（x）；这种方法叫做解析法． 图象法，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质． 考点6：函数解析式的求解及常用方法 【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解． 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等． 考点7：分段函数 分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题． 【解题方法点拨】 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法； 2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法； 3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）； 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题． 【常用结论归纳】 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 二、分类题型 题型一 函数的定义域 命题点1　具体函数的定义域 【例题精析1】 （2023·广东梅州·统考二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解答】集合，即， ，则，所以.故选：B 【例题精析2】 （