8.6.2第2课时直线与平面垂直——线面角、性质课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2 直线与平面垂直 第八章 1.直线与平面垂直的定义 平面 的垂线 垂足 直线 的垂面 如果直线 l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面互相垂直，记作l ⊥ ⊥ 任意=所有≠无数 l 线面垂直 线线垂直 2.补充：线面垂直的推论 直线 l 垂直于平面中的任意一条直线 图形语言： l⊥ 符号语言： 3.直线与平面垂直的判定定理 如果直线l和平面内的两条相交直线m,n都垂直，那么直线l垂直平面 . m n P 线线垂直 　　　线面垂直 图形语言： 符号语言： 找“X” 直线与平面所成的角 三 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． A P l O 斜线 斜足 垂线 射影 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． A P l O 斜线 斜足 垂线 射影 线面角: (1)斜线上找点 : P (2)作垂线:PO (3)连接垂足和斜足:AO， (4)求斜线与其射影所成角：∠PAO(锐角或直角) P l l l (1)找点 : P (2)作垂线:PO (3)连接垂足和斜:得到射影AO， (4)求斜线与其射影所成角：∠ PAO(锐角或直角) 找直线和平面所成角的步骤 　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1B与平面AA1D1D所成的角； 例3 ∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. 步步高P80 (2)求A1B与平面BB1D1D所成的角. 步步高P80 O 如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1， BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角. 又∵∠A1OB＝90°， ∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 反思感悟 求直线与平面所成的角的步骤 (1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角. (2)证——证明所作或找到的角就是所求的角并指出线面的平面角. (3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形). (4)答. 简记：一作、二证、三求解 A B C D A1 B1 C1 D1 O 　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角. 跟踪训练3 步步高P81 如图，连接BC1，BC1与B1C相交于点O，连接A1O. 设正方体的棱长为a. 因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B＝B1， B1C1，B1B⊂平面BCC1B1， 所以A1B1⊥平面BCC1B1， 所以A1B1⊥BC1. 又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1DCB1， 所以BC1⊥平面A1DCB1， 所以A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角. 所以∠BA1O＝30°， 所以直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°. 步步高P81 直线与平面垂直的性质定理 四 由探究我们得到线面垂直的性质定理： 垂直于同一平面的两直线平行 符号语言： 图形语言： 线面垂直 线线平行 　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 例4 步步高P81 ∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， ∴AE⊥AB， 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝. ∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°， 在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a， 所以BO＝A1B. $