8.6.2第1课时 直线与平面垂直 ——定义、判断定理课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.2 直线与平面垂直 第八章 空间中直线与平面的位置关系 A • α a a Ë 画法： 符号： 温故知新 2 创设情境，直观感知 比萨斜塔 天安门广场 A B α C′ B′ 若旗杆所在直线AB与地面垂直， 1. 旗杆所在的直线AB与其影子BC 所在直线是什么关系? 垂直 3. 地面上有不过点B的任意直线B′C′， AB与B′C′也垂直吗？为什么？ 思考： C 垂直 则与地面上任意一条直线都垂直. 通过上述分析，该怎么定义一条直线与平面垂直？ 2. 随着太阳移动，上述关系还成立吗？ 垂直 直线与平面垂直的定义 平面 的垂线 垂足 直线 的垂面 如果直线 l与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面互相垂直，记作l 5 动手探究，寻求定理 一条直线 l 和平面内的一条直线 m 垂直，能判 定直线 l 与平面 α 垂直吗？ m l n 两条直线 m、n 无数直线 所有直线 任意=所有≠无数 (多选)下列命题中，不正确的是 A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α 例1 √ √ √ l 线面垂直 线线垂直 补充：线面垂直的推论 直线 l 垂直于平面中的任意一条直线 图形语言： l⊥ 符号语言： 探究：准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触). (1)折痕AD与桌面所在平面α垂直吗？ (2)如何翻折能使折痕AD与桌面所在平面α垂直？为什么? 不垂直 直线与平面垂直的判定定理 如果直线l和平面内的两条相交直线m,n都垂直，那么直线l垂直平面 . m n P 线线垂直 　　　线面垂直 图形语言： 符号语言： 找“X” 一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 线线垂直 　线面垂直 判定定理 定义 垂直 内 相交 二、直线和平面垂直的判定定理 5 动手探究，寻求定理 6 掌握知识，适当延伸 D B C1 D1 B1 A1 A C 例：如图所示的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知A1A⊥BC，A1A⊥DC，证明：A1A⊥平面ABCD. 证明： ∵ A1A⊥BC，A1A⊥DC， 且 BC∩DC=C， BC⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD， ∴ A1A⊥平面ABCD. 练习：如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA =PC，PB =PD. 求证：PO⊥平面ABCD C A B D O P ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ 点O是AC、BD的中点， 又∵ 在△PAC中，PA=PC，点O是AC的中点， ∴ PO⊥AC ， 又∵ 在△PBD中，PB=PD，点O是BD的中点， ∴ PO⊥BD， 又∵ AC∩BD=O， AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 证明： ∴ PO⊥平面ABCD ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC⊥BD. 又∵ DE⊥平面ABCD， AC⊂平面ABCD， ∴ AC⊥DE， ∵ BD∩DE＝D， BD⊂平面BDE，DE⊂平面BDE， 练习2：如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD， 求证：AC⊥平面BDE； 证明： ∴ AC⊥平面BDE. 返回导航 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 A B C D S 练习（第152页） 　如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足. (1)求证：AN⊥平面PBM； 跟踪训练2 ∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM. 又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM， ∴PA⊥BM. 又∵PA∩AM＝A，PA， AM⊂平面PAM， ∴BM⊥平面PAM. 又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN. 又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM， ∴AN⊥平面PBM. 由(1)知AN⊥平面PBM， PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB. 又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ， ∴PB⊥平面ANQ. 又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ. (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB. 7 归纳总结，提高认识 1. 直线与平面垂直的定义 2. 直线与平面垂