专题09 幂函数与二次函数-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题09幂函数与二次函数 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：幂函数的图象与性质 题型二：求二次函数的解析式 题型三：二次函数的图象问题 题型四：二次函数的单调性与最值问题 题型五：二次方程根的分布问题 题型六：二次函数中的恒成立问题 题型七：二次函数的综合问题 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况； 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 【考点预测】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 【常用结论】 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0. 3.(1)幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质； (2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限. 【方法技巧】 1.幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 2.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 3.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 4.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. 5.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件. 6.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 7.不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题. 二、【题型归类】 【题型一】幂函数的图象与性质 【典例1】若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m< C．－1<m<0<n< D．－1<n<0<m<1 【解析】幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸， ∴0<m<1. 当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减． 不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0. 综上可知，－1<n<0<m<1. 故选D. 【典例2】幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________. 【解析】由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1， 解得m＝1或m＝2， 当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去， 当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称， 因此m＝2. 【典例3】若幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，则a等于(　　) A．1 B．6 C．2 D．－1 【解析】因为函数f(x)＝是幂函数， 所以a2－5a－5＝1，解得a＝