专题07 函数的单调性与最大(小)值-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题07函数的单调性与最大(小)值 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：求具体函数的单调区间 题型二：判断或证明函数的单调性 题型三：比较函数值的大小 题型四：求函数的最值 题型五：解函数不等式 题型六：求参数的取值范围 题型七：抽象函数单调性 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 【考点预测】 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 【常用结论】 1.有关单调性的常用结论 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. 2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. 【方法技巧】 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 3.求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 4.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 5.利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断函数的单调性，其次应将自变量转化到一个单调区间内，然后利用单调性比较大小. 6.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，利用函数的单调性将“f”符号脱去，转化为关于自变量的不等式求解，应注意函数的定义域. 7.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 二、【题型归类】 【题型一】求具体函数的单调区间 【典例1】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x| C．y＝x＋cos x D．y＝ 【解析】∵y＝ex与y＝－e－x为R上的增函数， ∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象知，故B不正确； 对于选项C，y′＝1－sin x≥0， ∴y＝x＋cos x在R上为增函数，故C正确； y＝的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正确． 故选AC. 【典例2】函数y＝的递减区间为__________． 【解析】作出t＝2x2－3x＋1的图象如图，∵0<<1，∴y＝单调递减．要使y＝递减，只要x∈.故填. 【典例3】函数y＝的单调递减区间为(　　) A．(1，＋∞) B. C. D. 【解析】由2x2－3x＋1>0， 得函数的定义域为∪(1，＋∞)． 令t＝2x2－3x＋1，x∈∪(1，＋∞)． 则y＝， ∵t＝2x2－3x＋1＝22－， ∴t＝2x2－3x＋1的单调递增区间为(1，＋∞)． 又y＝在(1，＋∞)上是减函数， ∴函数y＝的单调递减区间为