专题06 函数及其表示-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题06 函数及其表示 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：判断两个函数是否相等 题型二：求具体函数定义域 题型三：求抽象函数定义域 题型四：求函数的解析式 题型五：求常见函数的值域 题型六：求分段函数的函数值 题型七：分段函数与方程、不等式问题 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域. 2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 【考点预测】 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 2.同一个函数 (1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同. (2)结论：这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 【常用结论】 1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点. 2.注意以下几个特殊函数的定义域： (1)分式型函数，分母不为零的实数集合. (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}. (5)正切函数y＝tan x的定义域为. 【方法技巧】 1.函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素. 2.构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同 3.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 4.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 5.函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 6.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解. 7.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 二、【题型归类】 【题型一】判断两个函数是否相等 【典例1】已知函数f(x)＝|x－1|，则下列函数中与f(x)相等的函数是(　　) A．g(x)＝ B．g(x)＝ C．g(x)＝ D．g(x)＝x－1 【解析】∵g(x)＝ 与f(x)的定义域和对应关系完全一致，故选B. 【典例2】下列各组函数中，是同一函数的是(　　) A．f(x)＝，g(x)＝ B．f(x)＝，g(x)＝ C．f(x)＝，g(x)＝()2n－1，n∈N* D．f(x)＝·，g(x)＝ 【解析】对于A，f(x)＝＝|x|，g(x)＝＝x，它们的值域和对应关系都不同，所以不是同一函数；对于B，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以不是同一函数；对于C，当n∈N*时，2n±1为奇数，则f(x)＝＝x，g(x)