专题05 一元二次不等式及其解法-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题05一元二次不等式及其解法 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：分式不等式的解法 题型二：不含参的不等式解法 题型三：含参不等式解法 题型四：在R上恒成立问题 题型五：在给定区间上恒成立问题 题型六：给定参数范围的恒成立问题 题型七：二次不等式、二次函数及二次方程的关系 题型八：一元二次不等式的应用 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义. 3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 【考点预测】 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 4.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 【常用结论】 1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为 (－a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形. 3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 【方法技巧】 1.含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论. (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式. (3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集. 2.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值. 3.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 4.对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立. 5.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数. ①若ax2＋bx＋c＞0恒成立，则有a＞0，且Δ＜0；若ax2＋bx＋c＜0恒成立，则有a＜0，且Δ＜0. ②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法). 二、【题型归类】 【题型一】分式不等式的解法 【典例1】不等式≤1的解集为________． 【解析】≤1 ⇔ －1≤0 ⇔ ≤0 ⇔ ≥0. 解法一：≥0 ⇔得{x|x＞－或x≤－2}． 解法二：≥0 ⇔ 或 得{x|x＞－或x≤－2}．故填{x|x＞－或x≤－2}． 【典例2】不等式＞0的解集为 ． 【解析】＞0⇔＞0⇔ (x－2)(x＋2)(x＋1)＞0， 数轴标根得{x|－2＜x＜－1或x＞2}， 故填{x|－2＜x＜－1或x＞2}． 【典例3】若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝(　　) A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1} 【解析】易知A＝{x|－1≤x≤1