专题04 基本不等式及其应用-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题04基本不等式及其应用 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：用配凑法求基本不等式的最值 题型二：用常数代换法求基本不等式的最值 题型三：用消元法求基本不等式的最值 题型四：基本不等式的常见变形应用 题型五：利用基本不等式求参数范围 题型六：基本不等式与其他知识交汇的最值问题 题型七：基本不等式的实际应用 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.了解基本不等式的证明过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 3.掌握基本不等式在生活实际中的应用. 【考点预测】 1.基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 【常用结论】 1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. 2.ab≤≤. 3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. 【方法技巧】 1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. 2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值. 3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解. 5.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值. 6.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围. 7.根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值. 8.解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围. 9.在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解. 二、【题型归类】 【题型一】用配凑法求基本不等式的最值 【典例1】设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为(　　) A. B．4 C. D．9 【解析】y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·2＝. 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号， ∴当x＝时，ymax＝.故选C. 【典例2】若x<，则f(x)＝3x＋1＋有(　　) A．最大值0 B．最小值9 C．最大值－3 D．最小值－3 【解析】∵x<，∴3x－2<0， f(x)＝3x－2＋＋3 ＝－＋3 ≤－2＋3＝－3. 当且仅当2－3x＝，即x＝－时取“＝”． 故选C. 【典例3】函数y＝ (x>－1)的最小值为________． 【解析】因为x>－1，则x＋1>0， 所以y＝ ＝ ＝(x＋1)＋＋5 ≥2＋5＝9， 当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立， 所以函数的最小值为9. 【题型二】用常数代换法求基本不等式的最值 【典例1】已知首项与公比相等的等比数列{an}中，满足ama＝a(m，n∈N＋)，则＋的最小值为(　　) A.1 B. C.2 D. 【解析】由题意可得，a1＝q， ∵ama＝a， ∴a1·qm－1·(a1·qn－1)2＝(a1·q3)2， 即qm·q2n＝q8， 即m＋2n＝8. ∴＋＝(m＋2n)× ＝×≥×＝1. 当且仅当m＝2n时，即m＝4，n＝2时，等号成立. 故选A. 【典例2】已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A．1 B．2 C. D. 【解析】因为a>0，b>0，且a＋b＝2， 所以＝1， 所以＋＝(a＋b) ＝ ≥× ＝， 当且仅当a＝，b＝时，等号成立．故选C. 【典例3】已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 【解析